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Um triângulo

Em trigonometria, a lei das tangentes[1] estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.[2]

Trigonometria

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Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que

ProposiçãoEditar

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo   cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

 

 

 

DemonstraçãoEditar

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

 

 

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

 

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

 

 

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
  2. Fatos matemáticos, acessada em 09-07-2011.

Ligações externasEditar