Matriz inversa

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Uma matriz quadrada é dita invertível (ou não singular) quando existe outra matriz denotada tal que

e

onde é a matriz identidade.

Propriedades

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Considerando-se   uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades:

  1. A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
  2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz:  [1]
  3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa:  , ou seja,  [2]
  4. A inversa de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número, ou seja,  
  5. O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada, ou seja,  [2]
  6. Em geral, uma matriz quadrada sobre um anel comutativo é invertível se e somente se o seu determinante é uma unidade do anel (se  )

Pré-multiplicação

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A pré-multiplicação é útil quando se quer isolar uma matriz em um lado de uma equação. Por exemplo, sejam A, B e C matrizes, com A invertível, tais que

 

Para expressar a matriz B em termos das outras duas, basta multiplicar ambos os membros da igualdade pela inversa de A:[3]

 

Inversa da matriz identidade

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 Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.

 

Isso ocorre pois:

 

Determinação da inversa

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Aplicação da definição de inversa

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Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:

 
Exemplo
Se queremos descobrir a inversa da matriz   de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:
 [4]
 

Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:

 

Resolvendo essa multiplicação de matrizes somos conduzidos a um sistema de equações:

 

Logo:

 

No caso de a matriz que queremos inverter não ser na realidade invertível, chegaríamos a um sistema impossível.

Solução analítica

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 Ver artigo principal: Matriz adjunta

Escrever a transposta da matriz dos cofatores, conhecida como matriz adjunta, também pode ser uma forma eficiente de se calcular a inversa de matrizes pequenas, mas esse método recursivo é ineficiente para matrizes grandes. Para obter a inversa, calcula-se a matriz dos cofatores:

 

em que |A| é o determinante de A, Cij é a matriz dos cofatores, e CT representa a matriz transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta).

Para a maioria das aplicações práticas, não é necessário inverter uma matriz para resolver um sistema de equações lineares; no entanto, para que haja uma solução única, é preciso que a matriz envolvida seja invertível.

Técnicas de decomposição tais como a decomposição LU são muito mais rápidas do que a inversão, e foram desenvolvidos diversos algoritmos para tipos especiais de sistemas lineares.

Inversão de matrizes 2×2

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A equação de cofatores listada acima produz o seguinte resultado no caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2. A inversão dessas matrizes pode ser feita facilmente como segue:[5]

 

Logo, inverte-se a ordem dos elementos da diagonal principal e troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Isso é possível porque 1/(ad-bc) é o inverso do determinante da matriz em questão, e a mesma estratégia pode ser usada para matrizes de outros tamanhos.

Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan

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Uma outra forma de determinar a inversa duma matriz é utilizando a eliminação de Gauss-Jordan .

Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. De seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade tornou-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:

 

Exemplo: Partimos da mesma matriz do exemplo anterior:

 

A última matriz é a inversa procurada:

 

Determinação da matriz inversa pela matriz adjunta

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Existe uma maneira de calcular a matriz inversa utilizando-se da matriz adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores). Este método não é muito eficiente, porém pode vir a ser útil quando se conhece os determinantes das submatrizes.

Para calcular um cofator, utilizaremos da seguinte fórmula:

 

Onde i é a linha, j a coluna, e   é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Após criarmos uma matriz de cofatores, calculamos sua adjunta, que nada mais é que a transposta da matriz de cofatores. Em linguagem matemática, temos:

 

e então aplicamos a seguinte fórmula:

 

então teremos a matriz inversa de A. Exemplo:

Seja : 

Seus cofatores serão:

 

 

 

 

Então teremos a matriz de cofatores

  e sua adjunta será a transposta dessa matriz, portanto:
  e como   temos:
  .

Matriz em blocos

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Estas fórmulas, desenvolvidas por Hans Bolz (1923) e Tadeusz Banachiewicz (1937), permitem inverter uma matriz escrita em forma de blocos:

 

ou:

 

Os blocos podem ser de qualquer tamanho, desde que A e D sejam matrizes quadradas.

Referências

  1. Ricon, Mauro; Fampa, Márcia (2016). «Álgebra Linear. Aula 9: matriz inversa» (PDF). UFRJ. Consultado em 27 de setembro de 2017 
  2. a b «Álgebra Linear - Matriz Inversa». Consultado em 13 de março de 2019 
  3. Wolfram Alpha. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html. Acesso em: 24 de junho de 2011.
  4. «Matriz Inversa, Desmonstrações e Exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estátistica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 17 de julho de 2018 
  5. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8 , Chapter 2, page 71