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Transformação linear

função que preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar
(Redirecionado de Operador linear)
Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Função afim, ou Função polinomial de primeiro grau.
A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatasEditar

Sejam   e   espaços vetoriais sobre o mesmo corpo  

Diz-se que uma função   é uma transformação linear se, para quaisquer   e  valem as relações:[1]

  •  
  •  

Exemplos [2]Editar

  • a função   de   em   definida por  
  • a função   de   em   definida por  
  • a função   de   em   definida por  
  • se   for o espaço das funções deriváveis de   em   e se   for o espaço de todas as funções de   em  , então a derivação (isto é, a função de   em   que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se   então a função   de   em   definida por   não é uma transformação linear.

Se   for uma função de um espaço vetorial   num espaço vetorial   então afirmar que   é linear equivale a afirmar que   preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores   ∈   e dois escalares   ∈  

 

Para qualquer aplicação linear   de   em   tem-se:

  •   pois  
  • se   ∈   então   pois  

Função linearEditar

 
Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

  • Aditividade:

 
  • Homogeneidade:

 
Em suma:  

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

DefiniçãoEditar

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma   em que   é um número real.

  •   é a variável dependente e   a variável independente;
  •   é o coeficiente angular

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma   uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando   é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

 Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam   espaços vetoriais. Uma função   é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

  •  
  •  

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

  •  
  •  

NúcleoEditar

O núcleo de uma transformação linear   de   em   denotado por   é o conjunto   em que   é o vetor nulo de  

Exemplo: O núcleo da função   de   em   definida por   é:

 

O conjunto   é um subespaço vetorial de V, pois se   ∈   e se   ∈   então   ou seja,   ∈  

Se uma aplicação linear   de   em   for injectiva, então   pois   e, portanto, pela injectividade de   o único vector   ∈   tal que   é   Reciprocamente, se   então   é injectiva, pois, dados   ∈  

 

ImagemEditar

Sejam   e   espaços vetoriais sobre um corpo   A imagem de uma transformação linear   de   em   é o conjunto:

 

Sejam   dois elementos da imagem de   e sejam   Então, como   estão na imagem de   há vectores   tais que   e que   pelo que:

 
Logo,   é um subespaço vetorial de  

Dimensão da imagem e do núcleoEditar

Sejam   e   espaços vetoriais sobre um corpo   sendo   de dimensão finita, e seja   uma transformação linear de   em   Então

 
Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja   e seja    uma base de   Como   é um subespaço de   pode-se completar essa base até obtermos uma base de   Sejam então    …   ∈   tais que     seja uma base de   em particular,   Vai-se provar que    é uma base de Im  de onde resultará que
 
Se   ∈ Im  então   para algum   ∈   e   pode ser escrito sob a forma
 
pelo que
 
visto que   ∈   Isto prova que   gera   Por outro lado, os vetores   são linearmente independentes, pois se   ∈   forem tais que
 
então
 
de onde resulta que   é uma combinação linear dos vetores   o que é só é possível se   pois o conjunto   é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiaisEditar

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se   for um endomorfismo de um espaço vetorial   de dimensão finita, então são condições[3] equivalentes:

  1.   é injetivo;
  2.   é sobrejetivo;
  3.   é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se   for sobrejetivo, então

 
pelo que   e, portanto,   pelo que   é injetivo. Por outro lado, se   for injetivo, então
 
pelo que   e, portanto,   ou seja,   é sobrejetivo.

Exemplos de matrizes de transformações linearesEditar

Alguns casos especiais de transformações lineares[4] do espaço R2 são bastante elucidativas:

  • rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
     
  • rotação por   graus no sentido anti-horário:
     
  • reflexão em torno do eixo x:
     
  • reflexão em torno do eixo y:
     
  • projeção sobre o eixo y:
     

Espaço das transformações linearesEditar

Sejam   e   espaços vetoriais sobre o corpo   Seja   definido como o conjunto de todas transformações lineares de   em   Como funções, para quaisquer operadores   e   e qualquer escalar   podemos definir   e   por:

 
 

É imediato provar que   e   também são transformações lineares de   em   e que   com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre  

Pelo fato de que, dadas bases de   e   temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão   ×   concluímos que a dimensão de   é   (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores linearesEditar

Um caso particular importante é o espaço   das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear   podem-se definir as potências   ou, de modo geral,   Portanto, se   é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir  

 
em que   é o operador identidade em  

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

  • Se   e   são polinômios, então   e  

Se o espaço   tem dimensão finita   então   também tem dimensão finita   Portanto, o conjunto de   operadores   é linearmente dependente. Logo, existem escalares   não todos nulos, tais que   Ou seja, existe um polinômio não-nulo   tal que  .

Se existe um polinômio não-nulo   tal que  , então o conjunto não-vazio dos polinômio   tais que   forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico   tal que  . Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de  

Espaço dualEditar

 Ver artigo principal: Espaço dual

Seja   um espaço vetorial sobre um corpo   O espaço dual de   representado por   é o espaço vetorial   das transformações lineares de   em  

Referências

  1. Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207 
  2. «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
  3. «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
  4. «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 

Ver tambémEditar