Número complexo hiperbólico

elemento da álgebra associativa comutativa real ℝ[j] / (j² − 1), isto é, os reais com a adição de uma outra raiz quadrada de +1
Conjuntos de números


Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão bidimensional dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos.[1] A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x2 + y2) em R2, a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x2y²).

Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes.[1] Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis. Os números complexos têm muitos outros nomes; ver a seção dos sinônimos abaixo.

DefiniçãoEditar

Um número complexo hiperbólico é um número na forma:[1]

 

onde x e y são números reais e a quantidade h satisfaz:

 

Escolhendo h2 = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade h aqui é um não número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.

A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:

   
   .

Essa multiplicação é comutativa, associativa e distribuitiva em relação à adição.

Conjugado, norma e produto internoEditar

Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se

 

o conjugado de z é definido como

 

O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,

   
   
   

Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2. A forma quadrática de um número complexo hiperbólico z = x + hy é dada por:

       .

Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:

 

Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem ,em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.

AplicaçãoEditar

Os números complexos hiperbólicos são a linguagem natural para tratar da Relatividade Especial em duas dimensões; os divisores de zero representam o cone de luz da relatividade.[1]

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c d P. Fjelstad and S. G. Gal, n-Dimensional Hyperbolic Complex Numbers [em linha]