Quaternião

uma extensão dos números complexos; uma álgebra associativa formada pelos números da forma u+xi+yj+zk, onde i, j, k são unidades imaginárias
Conjuntos de números



Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias (). Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.[1][2]

William Rowan Hamilton

é chamada de parte escalar do quaternião e é chamada de parte vetorial. Também dizemos que é a parte real e é a parte imaginária do quaternião. Aos números , , e denominamos coeficientes.

Conceitos

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Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar

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Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula (     ).

Quaternião vetorial

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Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula (   ).

Conjugado de um quaternião

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O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico  , seu conjugado é então:

 .

Módulo

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O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número  , seu módulo é então:

 

Operações elementares

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Adição e subtração

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Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

 

e

 

temos:

  •    
  •    

Multiplicação

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Produto interno ou escalar

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Dados os quaterniões   e  , o produto interno entre eles é dado por:

 

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial

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Sejam   e   números quaterniônicos, então o produto exterior   (usualmente,  ) é definido como:

     

 

 

 

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que  .

Divisão

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A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão   e  . Isso significa que a notação   não pode ser usada a menos que   ou   seja um escalar.

  b ≠ 0.

Representação através de matrizes

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Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

 

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

  • Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
  • O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
  • O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

 

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson

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De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

 

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

 .

Além disso, seja:

 ,

tal que:

 ,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, pode-se agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

 

Já que:

 .

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

 .

Então o produto qp é:

 

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos:

 

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência:

 .

Aplicações

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Rotações de vetores em 3D

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A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores,  , e   um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

 

em que q é o quaternião (de módulo 1):

 

Referências

Ver também

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