Quaternião hiperbólico

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Conjuntos de números


Na matemática, um quaternião hiperbólico (português europeu) ou quatérnio hiperbólico (português brasileiro) é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A ideia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

Estrutura algébricaEditar

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear

 

é um quaternião hiperbólico quando       e   são números reais e o conjunto da base { } tem estes produtos:

 

 

 

 

Ao contrário dos quaterniões de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo,     quando   As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anticomutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto

 

forma um quasegrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se

 

é o conjugado de   então o produto  

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos  

 

Note que o conjunto das unidades   { } não é fechado sob a multiplicação.

Ver tambémEditar

ReferênciaEditar

  • MacFarlane (1891) "Principles of the Algebra of Physics" Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 40:65-117.
  • MacFarlane (1900) "Hyperbolic Quaternions" Proceedings of the Royal Society at Edinburgh, 1899-1900 session, pp. 169–181.
  • Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions