Quatro quatros

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O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

ProblemaEditar

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

Operações utilizadasEditar

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:

  • + (adição)
  • - (subtração)
  • * (multiplicação)
  •   (divisão)
  • n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n —  )
  • n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n —  )
  •   (exponenciação)
  • √ (radiciação) - raiz quadrada e raiz quarta

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula GeralEditar

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chammas e Roger Chammas,[1] é a que todo número natural   pode ser representado através da fórmula abaixo:

 

Na fórmula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda.

 

A prova desta igualdade se dá pela indução abaixo. Os termos com a mesma cor são equivalentes.

 

Soluções (até o 120)Editar

Soluções
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
 

π, i, eEditar

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente,   Em particular, como   pode-se dizer que   Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:

 

A unidade imaginária i também pode ser escrita como:

 

Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:

 

Referências

  1. Revista do Professor de Matematica N 04


Ligações externasEditar