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Poliedro platônico inscrito em esfera

Medida do raio da esfera circunscrita ao poliedro platônicoEditar

Se   é a medida da aresta do poliedro platônico, então é possível definir o valor do raio da esfera circunscrita ao poliedro em função de  .

Tetraedro inscrito em esferaEditar

 
Tetraedro regular   inscrito em esfera.

Fixe   como sendo a medida da aresta do tetraedro regular inscrito em uma esfera.

Seja   o ponto central da esfera inscrita ao tetraedro. Logo, o segmento que se estende do ponto   até um dos vértices do tetraedro será igual a medida do raio da esfera circunscrita a ele.

Sabendo que no tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer até as suas quatro faces é igual à altura do tetraedro, então vale que a soma das distâncias do ponto   até cada uma das faces resulta no valor da altura   do tetraedro. Logo, como cada uma dessas distâncias é igual a medida do raio   da esfera inscrita, segue que

  

Como  , então

   

Mas observe que,  , ou seja

      [2]

Cubo inscrito em esferaEditar

Seja   a medida da aresta do cubo. O valor do raio   da esfera circunscrita, será igual a metade do valor da diagonal do cubo. Logo, como a diagonal do cubo vale  , então  [2]

Octaedro inscrito em esferaEditar

Seja   a medida da aresta do octaedro regular. A medida do raio   da esfera circunscrita é igual a metade do valor da diagonal do octaedro. Como a diagonal do octaedro regular vale  , segue que  [2]

Dodecaedro inscrito em esferaEditar

 
Ilustração de dodecaedro regular inscrito em esfera.

Fixe   como sendo a medida da aresta de um dodecaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio   da esfera circunscrita é dada por  .[3]

Icosaedro inscrito em esferaEditar

 
Ilustração de icosaedro regular inscrito em esfera.

Defina   como sendo o valor da medida da aresta de um icosaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio   da esfera circunscrita ao poliedro é dada por  .[3]

Propriedades métricas dos poliedros platônicosEditar

Seja   a medida da aresta de um poliedro. A tabela seguinte agrupa os valores do raio da esfera circunscrita, além do volume de cada poliedro em função de  .

Poliedro Raio da esfera circunscrita Volume
Tetraedro   [4]   [5]
Cubo ou Hexaedro regular   [4]   [4]
Octaedro   [4]  [6]
Dodecaedro  [3]   [7]
Icosaedro  [3]   [8]

Porcentagem do volume da esfera ocupado por poliedro platônico inscritoEditar

Para determinar a porcentagem do volume da esfera ocupado por um poliedro platônico inscrito a ela, pode-se utilizar a fórmula do volume do poliedro (que está fixado na tabela de propriedades métricas dos poliedros platônicos) e o raio da esfera circunscrita ao poliedro para calcular o volume da esfera circunscrita.

A fórmula utilizada para calcular o volume da esfera é:

  [4]

Assim, o volume da esfera corresponderá a 100% do total e o volume do poliedro inscrito corresponderá à porcentagem ocupada que queremos descobrir (utilizaremos x).

É possível relacionar os volumes por meio da regra de três. Abaixo, seguem desenvolvidas as relações para os cinco poliedros platônicos:

  • Tetraedro:

Para representar o volume do tetraedro, utilizaremos  , e para o volume da esfera circunscrita ao tetraedro, utilizaremos  :

 
 

Assim, o volume da esfera ( ) representa 100% e o volume do tetraedro ( ) será representado por  .

Utilizando regra de três, tem-se:

 

Substituindo os valores obtidos para   e  :

       

Utilizando   e  :

   [9]
  • Cubo:

Fixemos   para representar o volume do cubo e   para representar o volume da esfera circunscrita ao cubo:

 
 

Logo, se   equivale a 100% do volume, então   equivale a   por cento.

Novamente, por meio de regra de três:

 

Substituindo   e  :

       

Para   e  , conclui-se:

   [9]
  • Octaedro:

Sendo o volume do octaedro representado por   e o volume da esfera circunscrita ao octaedro representado por  :

 
 

Como   representa 100% do volume, então   ocupará   por cento do volume da esfera. Assim:

 

Novamente, substituindo   e  :

    

Utilizando  :

  [9]
  • Dodecaedro:

Agora, seja   o volume do dodecaedro e   o volume da esfera circunscrita ao dodecaedro:

 
             

Desse modo,   representa 100% do volume e   representa   por cento.

 

Logo, com os valores obtidos para   e  :

      

Para  ,  ,   e  , tem-se:

   .[9]
  • Icosaedro:

Para representar o volume do icosaedro utilizaremos   e para representar o volume da esfera circunscrita ao icosaedro utilizaremos  :

 
        
Como   vale 100%, então o volume de   será de   por cento.
 

Ou seja, com os valores obtidos para   e  :

    

Utilizando   e  :

  
Ainda, sendo   e  :
   [9]

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  1. «Sólidos Inscritos e Circunscritos: Esfera e Cubo». Pró Universidade Online. 28 de setembro de 2017 
  2. a b c DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau (2005). Fundamentos da Matemática Elementar 10: geometria espacial, posição e métrica 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788535705492 
  3. a b c d «Platonic Solids» [Sólidos platônicos] (em inglês). Math24. Consultado em 19 de fevereiro de 2019 
  4. a b c d e DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau (2013). Fundamentos da Matemática Elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica 7 ed. São Paulo: Atual. 472 páginas. ISBN 9788535717587 
  5. Marcelo Rigonatto. «Tetraedro regular». Mundo Educação. Consultado em 17 de fevereiro de 2019 
  6. Marcos Noé Pedro da Silva. «Octaedro regular». Mundo Educação. Consultado em 17 de fevereiro de 2019 
  7. Marcos Noé Pedro da Silva. «Dodecaedro». Mundo Educação. Consultado em 17 de fevereiro de 2019 
  8. Marcos Noé Pedro da Silva. «Icosaedro Regular». Mundo Educação. Consultado em 17 de fevereiro de 2019 
  9. a b c d e Bending, Thomas. «Platonic solids inside and outside a unit sphere» [Sólidos platônicos inscritos e circunscritos à uma esfera unitária] (em inglês). Consultado em 17 de fevereiro de 2019 


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