Processo contínuo de Feller

Em matemática, um processo contínuo de Feller é um processo estocástico de tempo contínuo para o qual o valor esperado da estatística adequada do processo em um dado momento no futuro depende continuamente da condição inicial do processo. O conceito recebe este nome em homenagem ao matemático croata-americano William Feller.

Definição

Considere $X:[0,+\infty )\times \Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ um processo estocástico definido em um espaço de probabilidade $(\Omega ,\Sigma ,P)$. Para um ponto $x\in \mathbb {R} ^{n}$, considere que $P^{x}$ denota a lei de $X$ levando em conta o dado inicial $X_{0}=x$ e considere que $E^{x}$ denota a expectativa no que diz respeito a $P^{x}$. Então, diz-se que $X$ é um processo contínuo de Feller se, para qualquer $t\geq 0$ e qualquer função $\Sigma$-mensurável, contínua e limitada $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$, $E^{x}[g(X_{t})]$ depende continuamente de $x$.

Exemplos

• Todo processo $X$ cujos caminhos são quase certamente constantes para todo momento é um processo contínuo de Feller, já que $E^{x}[g(X_{t})]$ é simplesmente $g(x)$, que, por hipótese, depende continuamente de $x$.
• Toda difusão de Itō com deriva e coeficientes de difusão Lipschitz contínuos é um processo contínuo de Feller.