Produto entrelaçado

Na teoria dos grupos, o produto entrelaçado é um produto especializado de dois grupos, baseado em um produto semidireto. Os produtos entrelaçados são usados na classificação de grupos de permutação e também fornecem uma maneira de construir exemplos interessantes de grupos.

Dados dois grupos A e H, existem duas variações do produto entrelaçado: o produto entrelaçado irrestrito (também escrito com o símbolo de latex \wr) e o produto entrelaçado restrito A wr H. Dado um conjunto Ω com uma ação de H, existe uma generalização do produto entrelaçado que é denotada por A WrΩ H ou A wrΩ H respectivamente.

A noção se generaliza para semigrupos e é uma construção central na teoria da estrutura de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

Definição

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Sejam A e H grupos e Ω um conjunto sobre o qual H age (pela direita). Seja K o produto direto

 

de cópias de Aω := A indexadas pelo conjunto Ω. Os elementos de K podem ser vistos como sequências arbitrárias (aω) de elementos de A indexados por Ω com multiplicação componente a componente. Então a ação de H sobre Ω se estende de forma natural a uma ação de H sobre o grupo K por

 

Então, o produto entrelaçado A WrΩ H de A por H é o produto semidireto K ⋊ H. O subgrupo K de A WrΩ H é chamado de base do produto entrelaçado.

O produto entrelaçado restrito A wrΩ H é construído da mesma maneira que o produto entrelaçado irrestrito, exceto pelo uso da soma direta

 

como base do produto entrelaçado. Neste caso, os elementos de K são sequências (aω) de elementos de A indexadas por Ω, em que todos, exceto uma quantidade finita dos aω, são o elemento neutro de A.

No caso mais comum, considera-se Ω := H, em que H atua de maneira natural sobre si mesmo por multiplicação à esquerda. Neste caso, os produtos entrelaçados irrestrito e restrita podem ser denotados por A Wr H e A wr H respectivamente. Isso é chamado de produto entrelaçado regular.

Notação e convenções

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A estrutura do produto entrelaçado de A por H depende do H- conjunto Ω e, no caso de Ω ser infinito, também depende de ser usado o produto entrelaçado restrito ou irrestrito. No entanto, na literatura, a notação utilizada pode ser deficiente e deve-se atentar para as circunstâncias.

  • Na literatura, AΩH pode representar o produto entrelaçado irrestrito A WrΩ H ou o produto entrelaçado restrito A wrΩ H.
  • Da mesma forma, AH pode representar o produto entrelaçado regular irrestrito A Wr H ou o produto entrelaçado regular restrito A wr H.
  • Na literatura, o H-conjunto Ω pode ser omitido da notação mesmo se Ω ≠ H.
  • No caso especial em que H = S n é o grupo simétrico de grau n, é comum na literatura assumir que Ω = {1, ..., n} (com a ação natural de Sn) e então omitir Ω da notação. Ou seja, AS n comumente denota A{1, ..., n }Sn em vez do produto regular entrelaçado ASnSn. No primeiro caso, o grupo de base é o produto de n cópias de A, no último caso é o produto de n! cópias de A.

Propriedades

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Coincidência dos produtos entrelaçados irrestrito e restrito quando Ω é finito

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Uma vez que o produto direto finito de grupos é o mesmo que a soma direta finita de grupos, segue-se que o A WrΩ H irrestrito e o produto entrelaçado restrito A wrΩ H coincidem se o H-conjunto Ω é finito. Em particular, isso é verdade quando Ω = H é finito.

Subgrupo

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A wrΩ H é sempre um subgrupo de A WrΩ H.

Propriedades da cardinalidade

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Se A, H e Ω são finitos, então

|AΩH| = |A||Ω||H|.[1]

Teorema da inclusão universal

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Teorema da inclusão universal: Se G é uma extensão de A por H, então existe um subgrupo do produto entrelaçado irrestrito AH que é isomorfo a G.[2] Isso também é conhecido como teorema de inclusão de Krasner-Kaloujnine. O teorema de Krohn-Rhodes diz respeito ao que é basicamente o equivalente disso para semigrupos.[3]

Ações canônicas de produtos entrelaçados

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Se o grupo A age sobre um conjunto Λ, então existem duas maneiras canônicas de usar Ω e Λ para construir conjuntos em que A Wr Ω H (e, portanto, também A wrΩ H) possa agir.

  • A ação imprimitiva do produto entrelaçado em Λ × Ω.
If ((aω), h) ∈ A WrΩ H e (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, então
 
  • A ação primitiva do produto entrelaçado em ΛΩ.
Um elemento em ΛΩ é uma sequência (λω) indexada pelo H-conjunto Ω. Dado um elemento (( aω ), h) ∈ A WrΩ H, sua operação em (λω) ∈ ΛΩ é dada por
 

Exemplos

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A base deste produto entrelaçado é o produto direto
mn = ℤm × ... × ℤm
de n cópias de ℤm em que a ação φ : Sn → Aut(ℤmn) do grupo simétrico Sn de grau n é dada por
φ(σ)(α1, ..., αn) := (ασ(1), ..., ασ(n)).[4]
  • S2Sn (grupo hiperoctaédrico).
A ação de Sn em {1, ..., n } é como acima. Como o grupo simétrico S2 de grau 2 é isomórfico a ℤ2, o grupo hiperoctaédrico é um caso especial de um grupo simétrico generalizado.[5]
  • O menor produto entrelaçado não trivial é ℤ2≀ℤ2, que é o caso bidimensional do grupo hiperoctaédrico acima. É o grupo de simetrias do quadrado, também denominado Dih4, o grupo diedral de ordem 8.
  • Seja p primo e seja n≥1. Seja P um p-subgrupo de Sylow do grupo simétrico Spn. Então P é isomorfo ao produto entrelaçado regular iterado Wn = ℤp≀ℤp≀...≀ℤp de n cópias de ℤp. Aqui W1 : = ℤp e Wk : = Wk−1≀ℤ p para todo k ≥ 2.[6][7] Por exemplo, o 2-subgrupo de Sylow de S4 é o grupo ℤ2≀ℤ2 acima.
  • O grupo do cubo de Rubik é um subgrupo de índice 12 no produto de produtos entrelaçados, (ℤ3S8) × (ℤ2S12), cujos fatores correspondem às simetrias dos 8 cantos e das 12 arestas.
  • O grupo de transformações que preservam a validade de Sudoku contém o produto entrelaçado (S3S3)≀2, em que os fatores são a permutação de linhas/colunas dentro de uma faixa ou pilha de 3 linhas ou 3 colunas (S3), a permutação das próprias faixas/pilhas (S3) e a transposição, que intercambia as linhas e colunas (2).

Referências

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  1. Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
  2. M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
  3. J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-582-02693-3 
  4. J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), pp. 615–620
  5. P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.
  6. Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)
  7. L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

Ligações externas

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