Regra da cadeia

Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena $\left({\dfrac {dy}{dx}}\right).$

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

Enunciado

A regra da cadeia afirma que

$$(f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),$$

que em sua forma sucinta é escrita como: $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

$${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$$

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por substituição.

Intuitivamente, a regra da cadeia afirma que sabendo-se a taxa de variação instantânea de z relativa à y e àquela de y relativa à x permite que se calcule a taxa de variação instantânea de z relativa à x. Como dito por George F. Simmons: "se um carro viaja duas vezes mais rápido que uma bicicleta, e a bicicleta é quatro vezes mais rápida que um andarilho, então o carro viaja 2 × 4 = 8 vezes mais rapidamente que o andarilho."

Exemplos

• Exemplo 1: Considere $f(x)=(x^{2}+1)^{3}.$ Temos que $f(x)=h(g(x))$ onde $g(x)=x^{2}+1$ e $h(g(x))=(g(x))^{3}.$ Então, $$f'(x)=3(x^{2}+1)^{2}(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.$$
• Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo: $$f(x)=\mathrm {sen} \,(x^{2}),$$ pode ser escrita como $f(x)=h(g(x))$ com $h(x)=\mathrm {sen} \,x$ e $g(x)=x^{2}.$ A regra da cadeia afirma que $$f'(x)=2x\cos(x^{2})$$ uma vez que $h'(g(x))=\cos(x^{2})$ e $g'(x)=2x.$

Regra da cadeia para várias variáveis

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função $z=f(x,y)$ onde $x=g(t)$ e $y=h(t),$ então $${\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$$

Suponha que cada função de $z=f(u,v)$ é uma função de duas variáveis tais que $u=h(x,y)$ e $v=g(x,y),$ e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a: $${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$$

$${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$$

Se considerarmos ${\vec {r}}=(u,v)$ acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de $f$ e a derivada de $\scriptstyle {\vec {r}}:$ $${\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec {\nabla }}f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}$$

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções: $${\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}$$