Série dos inversos dos primos

Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

DemonstraçãoEditar

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto   cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também   como a soma dos inversos dos elementos de  , assim:

 
 
 

É possível mostrar por indução que:

 

Usando a série geométrica, temos:

 

E, portanto:

 

tomando logaritmos, temos:

 

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

 

assim:

 

Observamos que:

 

e também que:

 

E finalmente:

 

E o resultado segue dado que   quando  

Outra demonstraçãoEditar

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural   tal que:

 

Defina o conjunto   formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos  :

 

E defina a função   como o número de elementos em  .

A prova consiste em estabelecer valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1:  

Todo número inteiro pode ser escrito na forma  , onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos   só podem ter, como fatores primos, os primos  , portanto o número q é da seguinte forma:

 

onde os expoentes   valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo,   possibilidades para o valor do número q. Como m2 ≤ x, temos que existem no máximo   possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2:  

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo pi, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo   é inferior a  .

Portanto, temos a a estimativa:

 

ou, simplificando:

 

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Teorema de BrunEditar

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

 

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.