Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r.$ O número $r$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.

Definição

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definida recursivamente por:

$$a_{n}=a_{n-1}+r,\quad n>1,$$

onde o primeiro termo, $a_{1},$ é um número dado. O número $r$ é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

$$r=a_{n}-a_{n-1},\quad n>1.$$

Exemplos

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

• $(1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )$ é uma progressão aritmética em que o primeiro termo $a_{1}$ é igual a $1$ e a razão $r$ é igual a $3.$
• $(-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )$ é uma P.A. em que $a_{1}=-2$ e $r=-2.$
• $(6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )$ é uma P.A. com $a_{1}=6$ e $r=0.$

Fórmula do termo geral

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por $a_{n},$ pode ser obtido por meio da fórmula:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r,$$

em que:

• $a_{1}$ é o primeiro termo;
• $r$ é a razão.

Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

• Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto $a_{2}=a_{1}+1\cdot r;$
• Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para $n-1,$ ou seja, que $a_{n-1}=a_{1}+(n-2)\cdot r,$ resulta que o n-ésimo termo é dado por:

$$a_{n}=a_{n-1}+r=(a_{1}+(n-2)\cdot r)+r=a_{1}+((n-2)\cdot r+r)=a_{1}+(n-1)\cdot r.$$

Propriedades

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o $n$-ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do $m$-ésimo termo por:

$$a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r.$$

efeito, $a_{m}+(n-m)r=a_{1}+(m-1)r+(n-m)r=a_{1}+(n-1)r=a_{n}.$

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\quad n>1$$

ou seja, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

$${\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={\frac {a_{1}+(n-2)r+a_{1}+nr}{2}}={\frac {2(a_{1}+(n-1)r)}{2}}=a_{n}.$$

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de $a_{p}$ até $a_{q}$ é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula:

$$S_{(p,q)}={\frac {(q-p+1)\cdot (a_{p}+a_{q})}{2}}.$$

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

$$S_{n}={\frac {n\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}}$$

ou

$$S_{n}={\frac {n}{2}}\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)$$

Exemplo: Seja $PA=(10,8,6,4,2),$ qual é a soma dos 4 primeiros números?

$${\begin{aligned}S_{4}&={\frac {4}{2}}\cdot \left(10+4\right)\\S_{4}&=2\cdot 14\\S_{4}&=28\end{aligned}}$$

Demonstrações

Considerando a PA $(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n}),$ a soma $S_{n}$ de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$$

$$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}$$

Somando membro a membro, obtemos:

$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$$

$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n})$$

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

$$(a_{2}+a_{n-1})=(a_{1}+r+a_{n}-r)=(a_{1}+a_{n})$$

$$(a_{3}+a_{n-2})=(a_{1}+2r+a_{n}-2r)=(a_{1}+a_{n})$$

e assim por diante

$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})$$

Então, como há $n$ pares de termos:

$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n$$

$$S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}$$

Interpolação aritmética

Dada uma sequência finita $(a_{1},~a_{2},~\ldots ,~a_{n}),$ chamamos $a_{1}$ e $a_{n}$ de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) $k$ meios entre dois números dados $a$ e $b,$ de forma a obtermos uma progressão aritmética de $n=k+2$ termos, sendo $a$ e $b$ seus extremos.

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de $k$ termos meios entre dois números dados $a$ e $b$ tem primeiro termo $a_{1}=a$ e razão:

$$r={\frac {b-a}{k+1}}.$$

Com efeito, vemos que tomando $n=k+2,$ temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

$$a_{n}=a+(k+2-1){\frac {b-a}{k+1}}=b$$

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

• $(5,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots )$ tem razão r = 0
• $(0,~0,~0,~0,~0,~0,~\ldots )$ tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

• $(2,~4,~6,~8,~10,~\ldots )$ com razão r = 2
• $(3,~6,~9,~12,~15,~\ldots )$ com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

• $(6,~4,~2,~0,~-2,~\ldots )$ tem razão igual a -2
• $(6,~3,~0,~-3,~-6,~\ldots )$ tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números $(a_{n})$ em que as diferenças entre os termos consecutivos $\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ forma uma progressão aritmética. Por exemplo, a sequência:

$$(1,~3,~7,~13,~21,~31,~\ldots )$$

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos $(\Delta a_{n})$ é uma progressão aritmética de primeiro termo $\Delta a_{1}=2$ e razão $r=2.$

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem $k\geq 2$ é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem $k-1.$ .

Progressão aritmética de ordem qualquer

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por $r_{0},$ a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por $r_{1}$ a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por $r_{2},.$ .. a razão de ordem k por $r_{k}.$ De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem $k$ são necessários $k+1$ valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:

$$a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}$$

Nota: os coeficientes ${n-1 \choose m}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

$${n-1 \choose m}={\frac {(n-1)!}{(n-1-m)!(m)!}},$$

onde $n$ e $m$ são inteiros, $m\leq n-1$ e $x!=1\times 2\times \ldots x$ é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ${n-1 \choose m}$ corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência ($S_{n}$) é calculada por:

$$S_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n \choose m+1}r_{m}$$

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo $a_{n}$ o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.

$$r_{0}=a_{1}=4$$

$$r_{1}=a_{2}-a_{1}=9-4=5$$

$$r_{2}=(16-9)-(9-4)=2$$

$$r_{2}=(25-16)-(16-9)=2$$

$$r_{2}=(36-25)-(25-16)=2$$

$$~~~~~~\vdots$$

$$r_{2}=(a_{n}-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=2$$

Aplicando-se a fórmula:

$$a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{2}{n-1 \choose m}r_{m}={n-1 \choose 0}r_{0}+{n-1 \choose 1}r_{1}+{n-1 \choose 2}r_{2}$$

$$a_{n}={n-1 \choose 0}4+{n-1 \choose 1}5+{n-1 \choose 2}2$$

$$a_{n}={4}+{5(n-1)}+{\frac {2(n-1)(n-2)}{2}}={1}+{2n}+{n^{2}}={(n+1)^{2}}$$

$$a_{n}={(n+1)^{2}}$$

2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência ($S_{n}$). De modo semelhante ao realizado acima:

$$S_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{2}{n \choose m+1}r_{m}$$

$$S_{n}={n \choose 1}4+{n \choose 2}5+{n \choose 3}2$$

$$S_{n}={n}\left(4+{\frac {5(n-1)}{2}}+{\frac {(n-1)(n-2)}{3}}\right)$$

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.

b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de $n.$

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do $r_{n}:$

$$a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}$$

$$a_{7}=\sum _{m=0}^{3}{7-1 \choose m}r_{m}=\sum _{m=0}^{3}{6 \choose m}r_{m}.$$

Como $a_{7}=345,$ vem:

$$345=r_{0}+r_{1}{6 \choose 1}+r_{2}{6 \choose 2}+r_{3}{6 \choose 3}$$

Da mesma forma, para os outros dados:

$${\color {blue}1002}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}10}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}10}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}10}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{9 \choose 1}+r_{2}{9 \choose 2}+r_{3}{9 \choose 3}$$

$${\color {blue}3377}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}15}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}15}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}15}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{14 \choose 1}+r_{2}{14 \choose 2}+r_{3}{14 \choose 3}$$

$${\color {blue}15627}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}25}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}25}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}25}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{24 \choose 1}+r_{2}{24 \choose 2}+r_{3}{24 \choose 3}$$

Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares:

$${\begin{matrix}r_{0}+6r_{1}+15r_{2}+20r_{3}=345\\r_{0}+9r_{1}+36r_{2}+84r_{3}=1002\\r_{0}+14r_{1}+91r_{2}+364r_{3}=3377\\r_{0}+24r_{1}+276r_{2}+2024r_{3}=15627\\\end{matrix}}$$

O conjunto solução desse sistema $(S)$ é:

$$S={\begin{Bmatrix}r_{0}=3\\r_{1}=7\\r_{2}=12\\r_{3}=6\\\end{Bmatrix}}$$

Aplicando-se a fórmula para o caso $n=30,$ obtemos $a_{30}:$

$$a_{30}=\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{30-1 \choose m}r_{m}$$

$$a_{30}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}30}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}30}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}30}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{29 \choose 1}+r_{2}{29 \choose 2}+r_{3}{29 \choose 3}$$

$$a_{30}=3+7{{\color {blue}30}-1 \choose 1}+12{{\color {blue}30}-1 \choose 2}+6{{\color {blue}30}-1 \choose 3}=3+7{29 \choose 1}+12{29 \choose 2}+6{29 \choose 3}$$

Calculando-se a expressão acima, obtém-se:

$$a_{30}=27002$$

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões $r_{0},r_{1},r_{2}$ e $r_{3},$ basta substituir os seus valores na fórmula de $a_{n}:$

$$a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}$$

$$a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{n-1 \choose m}r_{m}$$

$$a_{n}=3+7{n-1 \choose 1}+12{n-1 \choose 2}+6{n-1 \choose 3}.$$

Logo:

$$a_{n}=n^{3}+2$$

Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que:

$${n-1 \choose m}+{n-1 \choose m+1}={n \choose m+1}.$$

Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

$${\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}} \\a_{n}\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m+1}r_{m}} \\S_{n-1}\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n \choose m+1}r_{m}} \\S_{n}\end{matrix}}$$

Considerando-se também o princípio da indução matemática e uma das propriedades dos somatórios,

$\sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}$ que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número $r,$ esta se torna:

${\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i}){\Bigg )}\cdot r={\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}x_{i}{\Bigg )}\cdot r\pm {\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}y_{i}{\Bigg )}\cdot r$

esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem $n.$ A fórmula é válida para $n=\{1,2,\cdots \},$ ou seja,

${\begin{matrix}\underbrace {S_{0}} \\0\end{matrix}}=S_{1}-a_{1},$

$S_{1}(=a_{1})=S_{2}-a_{2},$

$\cdots$

$S_{n-1}(=a_{n-1})=S_{n}-a_{n},$ que equivale à expressão mostrada acima.

Progressões Aritmético-Geométricas

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência $(a_{n})$ cujo termo geral é $a_{n}=(a_{0}+nr)q^{n},$ com $n\in \mathbb {N} .$

Veja que se $q=1$ ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética ($a_{n}=a_{0}+nr$) e se $r=0,$ temos a fórmula de uma progressão geométrica, ($a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}$).

A fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos dessa sequência é:

$S_{n}={\frac {a_{0}+q\cdot (q^{n}(a_{0}+r\cdot (1-n)-a_{0}q-1)-a0+r)}{(q-1)^{2}}}$

Ver também

• Progressão geométrica
• Sequência
• Carl Friedrich Gauss
• Função