Sistema de Lotka-Volterra Fracionário

O sistema de Lotka-Volterra, desenvolvido na década de 1920, constitui-se de duas equações diferenciais que de modo geral descrevem a interação entre duas populações, geralmente, uma população de presas e outra de predadores. [1] Esse sistema em sua forma básica pressupõe que existe alimento em abundância para as presas e que os predadores são extintos na ausência destas. Esta simplicidade provoca restrições ao modelo, por isso, na tentativa de torná-lo mais realístico alterações podem ser realizadas, sendo comum sua adaptação ao modelo Logístico, [2] e o uso do cálculo fracionário, [3] mas existem diversas outras modificações possíveis.

O modelo de Lotka-Volterra fracionário [4] visa atenuar algumas limitações do modelo básico, como crescimento exponencial das presas na ausência do predador, a extinção de predadores na ausência das presas, falta de complexidade ambiental como a movimentação aleatória de ambas as populações em um meio homogêneo, entre outros.

História editar

As equações de Lotka-Volterra foram desenvolvidas de modo independente, pelo biofísico Alfred J. Lotka (1880-1949) e pelo matemático Vito Volterra (1860-1940). Dada a forma do surgimento das equações, o modelo foi chamado de Lotka-Volterra. O desenvolvimento das equações por parte de Volterra se deu a partir de estudos acerca da interação entre certas populações de peixes no mar adriático, quanto a Lotka, este analisava a dinâmica de drosófilas. O primeiro livro sobre biologia matemática, Elements of Mathematical Biology, tem autoria deste último. [5]

O cálculo fracionário, ou de ordem arbitrária, originou-se no século XVII, a partir de uma pergunta formulada numa troca de correspondências entre Leibniz e L'Hôpital. Numa destas correspondências, Leibniz o questiona sobre a generalização da derivada de ordem inteira para uma ordem a princípio, arbitrária, ao que L'Hopital lhe devolve a pergunta com pedido de esclarecimento sobre qual seria sua interpretação de uma derivada de ordem   na notação de Leibniz,  . Desde então, muitos matemáticos e pesquisadores, tem contribuído para este campo, sendo que atualmente suas aplicações adentram campos do conhecimento como Matemática, Física, Química, Biologia entre outras áreas.

Resumo do sistema de Lotka-Volterra clássico editar

Sejam   e   constantes positivas. Considere por simplicidade que,   denota a população de presas e   a população de predadores no tempo  , nestas condições é dado o seguinte par de equações

 
 

Este sistema tem duas soluções de equilíbrios,   e  . Com o uso da Regra da Cadeia pode-se unificar este sistema numa única equação diferencial, obtendo-se

 

cuja solução geral é dada por

 

na qual   é a constante de integração e as trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de níveis da função  

Sistema de Lotka-Volterra fracionário editar

Com o objetivo de amenizar certas restrições inerentes ao modelo clássico de Lotka-Volterra, apresenta-se a generalização fracionária do sistema, isto é,

 
 

Na qual 0 <   ≤ 1,   e   são constantes positivas e as derivadas fracionárias são tomadas no sentido de Caputo. Assim como no modelo clássico,   e   representam, respectivamente, as populações de presas e predadores, ambas no instante  . O fato das ordens   e   poderem ser distintas ameniza a falta de complexidade ambiental no modelo, tornando-o mais realístico, assim como os valores de   e  , e das constantes   e   serem determinadas experimentalmente.

A dimensão efetiva do sistema,  , é dada pela soma das ordens da equação, isto é,  

 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .
 
Curva obtida a partir da solução com   e  .

A fim de analisar as soluções para o sistema fracionário, assim como no caso clássico, pode-se introduzir as variáveis   e  , de modo que

  e  

Fazendo uso da derivada fracionária no sentido de Caputo, com as devidas substituições de variáveis e simplificações tem-se,

 
 

Do qual, o sistema linearizado correspondente, é dado por

 
 

Solução do sistema fracionário linearizado editar

Com o propósito de resolver o sistema fracionário linearizado aplica-se a transformada de Laplace nas duas equações, donde tem-se

 
 

Em que,   e  , e além disso,   e   denotam, respectivamente, as populações iniciais de presa e predador.

A partir deste ponto, ao isolar   na segunda equação e substituir sua expressão na primeira, e de modo análogo, isolar   na primeira equação e substituir a equação resultante na segunda, chega-se às seguintes transformadas

 
 

Assim, tendo em vista que se busca as soluções das respectivas equações do sistema fracionário linearizado, aplica-se nestas equações a transformada de Laplace inversa, donde tem-se as seguintes soluções

 
 

nas quais   e   denotam as funções de Mittag_Leffler [6] de um e dois parâmetros, respectivamente.

Exemplo numérico editar

Modelos numéricos em geral são capazes de revelar a forma das soluções conforme se variam as ordens das derivadas. As figuras apresentadas representam as soluções do sistema na forma linearizada, sendo consideradas para as constantes os valores   e  . Além disso, as condições iniciais escolhidas são   e  .

Para cada uma das possíveis combinações dos parâmetros   e  , que identificam as derivadas fracionárias de   e  , tem-se uma curva correspondente, de modo que a partir destas observa-se como   e   influenciam o comportamento das soluções em torno do ponto crítico,  , de acordo com as condições estipuladas.

Algumas análises podem feitas a partir dos gráficos, por exemplo, quando   e   tem-se uma elipse centrada em  , o que é normal devido as derivadas serem de ordem inteira, mas este fato também sugere ser a versão fracionária uma generalização do caso clássico. Além disso, nota-se que conforme se diminui o valor das ordens das derivadas tem se uma convergência para o ponto  , e isto de modo cada vez mais acentuado.

A dimensão efetiva do sistema,  , sugere certa influência no comportamento das curvas, uma vez que soluções obtidas a partir de equações com mesmo valor   apresentam traços semelhantes.

Embora o sistema resolvido tenha sido linearizado, a partir das soluções apresentadas percebe-se sob certo aspecto o quanto este modelo denota um caráter mais realístico comparado à versão clássica de Lotka-Volterra, pois conforme a dimensão efetiva do sistema diminui a população das duas espécias tendem a escapar do ciclo da extinção, sendo esta uma característica real das populações devido a outros fatores não considerados.


Referências

  1. BASSANEZI, R.C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. p 362, Editora Contexto, 2013.
  2. STEWART, James. Calculo. p.638, Editora Thomsom Learning, 2007, V.2.
  3. CAMARGO, R.F. Cálculo fracionário e aplicações. 2009. 141f. Tese (Doutorado em Matemática) - Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, Unicamp, Campinas - SP.
  4. CAMARGO, R.F.; OLIVEIRA, E.C. Cálculo Fracionário. p 138, Editora Livraria da Física, 2015.
  5. WILLIAM E. B. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. p 414. Editora LTC, 2010
  6. TEODORO, G. S. Cálculo Fracionário e as Funções de Mittag-Leffler. Campinas, 2014. 80p. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática, Estatística e Computacão Científica, Universidade Estadual de Campinas.