Teorema da representação de Riesz

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação em espaços de HilbertEditar

Seja   um espaço de Hilbert real ou complexo, munido do produto interno  . Seja   um funcional linear contínuo em  . Então existe um vetor   tal que:

 

Observe que todo funcional desta forma é um funcional linear contínuo. O teorema estabelece portanto uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

MotivaçãoEditar

Considere momentaneamente que   seja um espaço de dimensão finita, ou seja, todo elemento   pode ser escrito como:

 

onde   seja uma base para  . Então a linearidade de   nos permite escrever:

 

onde  .

DemonstraçãoEditar

Seja   o espaço nulo de  .   é um espaço vetorial fechado posto que   é contínuo. Temos dois casos:

  •  , neste caso   e o teorema é válido com  .
  • Existe um elemento não nulo  , o complemento ortogonal de  

Neste caso, escreva para todo  :

 

Pela linearidade de  , é fácil verificar que  , ou seja,  .

Sendo   ortogonal a  , ou seja,  :

 

Ou ainda:

 

E o resultado segue com  .