Teorema da representação de Riesz

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas é o Teorema de Riesz–Fréchet que se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema de Teorema de Riesz–FréchetEditar

Seja   um espaço de Hilbert, munido de espaço interno, e   um funcional linear contínuo. Então existe um único   tal que:

 

E além disso:

 

Portanto o teorema estabelece uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

MotivaçãoEditar

Se   é um espaço de Hilbert munido de produto interno e   então existe o funcional:

 

Note que:

  • Esse funcional é linear pois o produto interno mantêm linearidade.
  • Contínuo pois: fixando   se   então: .
  •   pois  .

Ou seja,   e  .

Seria interessante que todos os funcionais lineares contínuos fossem da forma descrita acima para algum  .

DemonstraçãoEditar

Se   é um funcional tal que   sempre, então basta tomar   que então  .

Se   não é identicamente nulo, então o núcleo de   que é o conjunto   é um subespaço próprio e fechado de  .

Portanto   . Seja   tal que  .

Vamos provar que   satisfaz a condição do teorema.

Dado   note que como podemos decompor   como soma direta de   com   então   onde:   e   .

Logo :

 

Como   e   então:

 

Como   então temos que:

 

ConsequênciasEditar

  • Todo espaço de Hilbert é isomorfo ao seu dual.
  • O dual de um espaço de Hilbert também é de Hilbert


BibliografiaEditar

  • Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira (2011), Fundamentos de Análise Funcional