Teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani

Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Teorema da representação de Riesz.

Na teoria da medida e na análise funcional, o teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani, também conhecido por teorema da representação de Riesz ou de Riesz–Markov, enuncia condições sob as quais um funcional linear num subespaço de C(X), que é o espaço das funções complexas contínuas em X, é da forma

f ↦ ∫X f dμ,

isto é, é dado por integração em relação a uma medida positiva ou complexa μ.[1][2]

O teorema recebe o nome de Frigyes Riesz, que analisou em 1909 o caso X = [0 … 1], de Andrei Markov Júnior, que analisou em 1938 para X normal, e de Shizuo Kakutani, que analisou em 1941 para X compacto de Hausdorff.[3][4]

EnunciadoEditar

Nesta seção, X denota espaço localmente compacto de Hausdorff qualquer.

Denota-se por CC(X) o espaço vetorial complexo das funções contínuas X → ℂ de suporte compacto, normado por f‖ = supxX|f(x)|. Um funcional linear Λ : CC(X) → ℂ é dito ser positivo quando Λ(f) ≥ 0 para cada f ∈ CC(X) tal que f(x) ≥ 0 para cada xX.

Uma medida (positiva ou complexa) é dita ser medida de Borel em X quando é definida numa σ-álgebra contendo a σ-álgebra de Borel de X. Uma medida positiva de Borel μ em X é dita:

  • ser regular exterior em EX quando
     
  • ser regular interior em EX quando
     
  • ser finita em compactos quando μ(K) < +∞ para cada compacto KX.

Uma medida positiva de Borel μ é dita ser regular quando é simultaneamente regular exterior e regular interior em cada subconjunto de Borel de X. Uma medida complexa de Borel λ é dita ser regular quando a medida de variação total |λ| é medida positiva regular.

O teorema da representação de Riesz para medidas positivas diz que

 
define bijeção[nota 1] entre o conjunto das medidas positivas de Borel μ em X tais que
  • μ é finita em compactos,
  • μ regular exterior em cada subconjunto de Borel de X,
  • μ regular interior em cada EX tal que E é aberto ou μ(E) < +∞,

e o conjunto dos funcionais lineares positivos em CC(X).[1]

O teorema da representação de Riesz para medidas complexas diz que

 
define bijeção entre o conjunto das medidas complexas de Borel regulares em X e o conjunto dos funcionais lineares contínuos em CC(X), e, adicionalmente, esta bijeção é uma isometria no aspecto que
 
em que o lado direito denota a norma de funcional linear.[5]

Algumas notas:

  • Denota-se por C0(X) o espaço das funções contínuas f : X → ℂ que se anulam no infinito, isto é, tais que, para cada ε > 0, há compacto KX tal que |f(x)| < ε sempre que xXK. Então, como C0(X) é a completação de CC(X), o teorema da representação de Riesz para medidas complexas pode ser equivalentemente enunciado para C0(X) no lugar de CC(X).[6][7]
  • Não exigindo as condições de regularidade exterior ou interior, duas medidas diferentes podem induzir um mesmo funcional linear positivo.[8]
  • Quando todo aberto de X é união enumerável de compactos, toda medida positiva de Borel em X que é finita em compactos é automaticamente regular.[9]

ExemplosEditar

  • Sendo X = ℝk,
     
    em que Pn é o conjunto dos pontos cujas coordenadas são múltiplas inteiras de 2n, define funcional linear positivo, logo há única medida positiva regular vol tal que
     
    para cada f ∈ CC(X). Esta vol é a medida de Lebesgue em k dimensões.[10]
  • (Exige conhecimentos de álgebras de Banach.) Denote por m a medida de Lebesgue restrita a subconjuntos de [0 … 1], e seja Δ o espaço de ideais maximais da álgebra de Banach L(m) (ver espaços Lp), isto é, o conjunto das funções lineares multiplicativas não nulas L(m) → ℂ, cuja topologia é de convergência pontual. Pode-se mostrar que a transformada de Gelfand ff é uma isometria de L a C(Δ), logo existe única medida regular μ em Δ tal que
     
    para cada f ∈ L; também, μ é medida positiva. O espaço de medida resultante satisfaz algumas propriedades incomuns; por exemplo, para toda função limitada de Borel φ : Δ → ℂ existe função contínua f : Δ → ℂ tal que μ{φf} = 0.[11]

Notas

  1. Entende-se que duas medidas de Borel definidas em σ-álgebras potencialmente diferentes são iguais quando coincidem na sub-σ-álgebra de Borel.

Referências

  1. a b (Rudin 1987, §2.14)
  2. «Riesz representation theorem». Encyclopedia of Mathematics. 18 de agosto de 2012 
  3. (Rudin 1987, Notas para capítulo 2)
  4. Rio, Rafael del; Franco, Asaf L.; Lara, Jose A. «A direct proof of F. Riesz representation Theorem». arXiv:1606.05026v2  [math.FA] 
  5. (Rudin 1987, §6.19)
  6. (Rudin 1987, §3.17)
  7. (Rudin 1987, §6.18)
  8. (Rudin 1987, Exercício 2.18)
  9. (Rudin 1987, §2.18)
  10. (Rudin 1987, §2.19)
  11. (Rudin 1991, §11.13(f))

BibliografiaEditar

  • Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis 3 ed. [S.l.]: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054234-1 
  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis 2 ed. [S.l.]: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054236-8 
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