Teoria acústica

Teoria Acústica é um campo cientifico que relaciona a descrição de ondas sonoras. Ela é derivada da mecânica dos fluidos. Veja acústica para a abordagem da engenharia.

A propagação de ondas sonoras em fluidos (como a água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação da massa) e uma equação de movimento (conservação do momento) . Com algumas simplificações, em particular densidade constante, elas podem ser dadas como segue:

onde é a pressão acústica e é o vetor da velocidade de fluxo, é o vetor das coordenadas espaciais , é o tempo, é a densidade de massa estática do meio e é o Módulo volumétrico do meio. O módulo volumétrico pode ser expressado nos termos da densidade e a velocidade do som no meio () como

Se o campo velocidade de fluxo é irrotacional, , então a equação da onda é a combinação desses dois conjuntos de equações de equilíbrio e pode ser expressado como [1]

onde nós usamos o vetor laplaciano, . A equação da onda (e as equações de equilíbrio da massa e do momento) são frequentemente expressas nos termos de um potencial escalar onde . Neste caso a equação da onda é escrita como

e o momento de equilíbrio e o equilíbrio da massa são expressados como

Derivadas de equações governantesEditar

As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.

Conservação do momentoEditar

As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são

 

onde   é a força do corpo por unidade de massa,   é a pressão, e   é a desvio de tensão. Se   é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então

 

onde   é um tensor de segunda ordem.

Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.

Suposição 1: Fluídos NewtonianosEditar

Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por

 

onde   é a viscosidade de cisalhamento e   é a viscosidade do módulo.

Assim sendo, a divergência de   é dada por

 

Usando a identidade  , nós temos

 

As equações de conservação do momento então podem ser escritas como

 

Suposição 2: Fluxo irrotacionalEditar

Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso

 

e a equação de momento pode ser reduzida para

 

Suposição 3: Sem força de corpoEditar

Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para

 

Suposição 4: Sem forças viscosasEditar

Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma

 

Suposição 5: Pequenas perturbaçõesEditar

Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio ( ) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante ( ) que varia no espaço e tempo. Que é

 

e

 

Então a equação de momento pode ser expressa como

 

Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos

 

Suposição 6: Meio HomogêneoEditar

Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo   e   tem gradientes nulos, que é,

 

A equação momento então se torna

 

Suposição 7: Meio em repousoEditar

Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é,  . Então o balanço do momento se reduz para

 

Deixando cair os tis e usando  , nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento

 

Conservação da massaEditar

A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por

 

onde   é a densidade da massa do fluido e   a velocidade de fluxo.

A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.

Suposição 1: Pequenas perturbaçõesEditar

Da suposição de pequenas perturbações nós temos

 

e

 

Então a equação da massa pode ser escrita como

 

Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna

 

Suposição 2: Meio homogêneoEditar

Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,

 

Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma

 

Suposição 3: Meio em repousoEditar

Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja,  . Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como

 

Suposição 4: Gás ideal, adiabático, reversívelEditar

Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:

 

onde   é o calor específico em pressão constante,   é o calor específico em volume constante, e   é a velocidade da onda. O valor de   é 1.4 se o meio acústico é ar.

Para pequenas perturbações

 

onde   é a velocidade do som no meio.

Sendo assim,

 

O equilíbrio de massa então pode ser escrito como

 

Deixando cair os tis e definindo   nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:

 

Equações governantes em coordenadas cilíndricasEditar

Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas   com vetores base  , então o gradiente de   e a divergência de   são dados por

 

onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como  .

A equação para a conservação do momento pode ser escrita como

 

Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são

 

A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como

 

Equações acústicas harmônicas temporais em coordenadas cilíndricasEditar

As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma

 

onde   é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento

 

e a forma de frequencia fixa da conservação de massa

 

Caso Especial: Sem dependência no zEditar

Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar   para conseguir

 

Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como

 

nós podemos escrever a equação diferencial parcial como

 

O lado esquerdo não é uma função de   enquanto que o lado direito não é uma função de  . Consequentemente,

 

onde   é uma constante. Usando a substituição

 

nós temos

 

A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral

 

onde   é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e   são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral

 

onde   são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é

 

Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar   e as outras constantes indeterminadas.

ReferênciasEditar

  1. Douglas D. Reynolds. (1981). Engineering Principles in Acoustics, Allyn and Bacon Inc., Boston.

Veja tambémEditar