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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Torque (desambiguação).

Binário (português europeu) ou torque (português brasileiro), momento de alavanca ou simplesmente momento (deve-se evitar este último termo, pois ele pode referir-se também ao momento angular, ao momento linear ou ao momento de inércia), é uma grandeza vetorial da física.

É definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.

Índice

IntroduçãoEditar

O torque é definido pela relação:

 

Pela segunda lei de Newton,   .

Como  , e a velocidade tem a mesma direção do momento, tem-se que  , logo

 

na qual   é o produto vetorial ou externo. Em módulo,

 

sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada.

Numa linguagem mais informal, poderá dizer-se que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que ele gire.

UnidadesEditar

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica[1] que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Cálculos de ForçasEditar

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força   deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura abaixo mostra uma força   aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

 
O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque  

O vetor posição   do ponto P tem módulo r e faz um ângulo   com a força   O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin   e, portanto, o torque da força em relação a O é:

 

Repare que   é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição   e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores   e  

No caso da soma das forças paralelas , o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques,   e   os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças,do ponto S, é a força F, sem nenhum torque.

É também importante ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por   quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por   e  . Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores   e   Assim, podemos definir o vetor torque   usando a expressão vetorial:

 

em que   é, por definição, um vetor com módulo dado pela

equação   , direção perpendicular ao plano definido por

  e   e sentido dado pela regra da mão direita:

afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no

sentido de   e o dedo médio no sentido de   , o sentido

de   é dado pelo dedo polegar.

É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo;   e   são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto   é sempre nulo; em particular,

 

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles; assim, temos que

  e   .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

 

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.[2]

Equilíbrio de rotaçãoEditar

Diz-se que uma alavanca está em equilíbrio quando a soma de todos os seus momentos é nula.

 

Momento e BináriosEditar

 
Binário
 
Momento de uma força

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço  ),

 

O momento   representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.[2]

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo   o vetor posição do ponto P em que a força   é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a  , em que o ângulo   é o ângulo entre os vetores   e   (figura ao lado).[2]

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

 

Repare-se que ( ) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição  , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem,  , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.[2]

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

 

O vetor   representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor  .

Um binário é um conjunto de duas forças   e  , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

 

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor   na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

 

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

 
Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força   aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças   e   nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário   com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior,   deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de   pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial,  .

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força   no ponto Q e o binário   que é igual ao momento   que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo   e   e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força   em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo  , dada pelo determinante,

 

em que   e   são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força  .

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de   obtidos para cada força.[2]

Ver tambémEditar

Referências

  1. «SI - Unidades derivadas». bipm.org 
  2. a b c d e Trechos que usam material da obra Villate, Jaime E (2013). «6: Dinâmica dos corpos rígidos». Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: [s.n.] ISBN 978-972-99396-1-7. Consultado em 8 de junho de 2013  Disponibilizada nos termos da Creative Commons Attribution Share Alike 3.0. Erro de citação: Código <ref> inválido; o nome "Villate" é definido mais de uma vez com conteúdos diferentes