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Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz será representada por . Outras formas de representação encontradas na literatura são e .[1][2][3]

DefiniçãoEditar

A transposta da matriz   é a matriz  [1][2][3], i.e.:

 

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária   definida no conjunto das matrizes   que associa a cada matriz   sua transposta  .

ExemplosEditar

Veja alguns exemplos:

  •  
  •  

ConstruçãoEditar

 
A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos   e  ) produz a sua transposta.

A transposta de uma matriz   é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha  -ésima linha e  -ésima coluna da matriz   deve corresponder ao elemento da  -ésima linha e  -ésima coluna da matriz  .[1]

Uma das formas práticas de construir a matriz   é colocando em sua colunas as linhas da matriz   na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz   nas linhas da matriz   na mesma ordem.

PropriedadesEditar

Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:[1]

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  , se   é uma matriz não singular.
  6.  
  7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:
  
  1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:
  
Demonstração.
1.  

Seja  . Então,   e, portanto,  .


2.  

Sejam   e  . Então:

 .


3.  

Seja  . Então:

 .


4.  

Sejam   e  . Então:

 


5.  , se   é uma matriz não singular.

Se   é uma matriz não singular, então  . Daí, segue que:

 

e

 

ou seja, a inversa de   é a transposta de  , como queríamos demonstrar.


6.  

Seja  . Por definição, o determinante de   é dado por:

 

onde,   corresponde ao  -ésimo elemento da  -ésima permutação da sequência  . E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

 .


7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja  . Então:

 

donde vemos que os termos da diagonal ( ) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.


8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c d Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  2. a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
  3. a b Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 


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