Usuário(a):A7w3j/Testes
Elemento inverso numa operação binária é aquele cujo resultado dá o elemento neutro quando operado com o original.
Pode distinguir-se inverso à esquerda ou inverso à direita se a operação não for comutativa.
Nomenclatura e exemplos editar
Quando a operação é a multiplicação o elemento inverso de é , porque
onde 1 é o elemento neutro da multiplicação (multiplicar por 1 não altera o resultado).
Quando a operação é a adição o elemento inverso de a é -a, porque
onde 0 é o elemento neutro da adição (somar 0 não altera o resultado).
No caso da soma também se designa como elemento simétrico, quando se quer distinguir do elemento inverso, que está mais associado à inversão pela multiplicação.
Por exemplo, relativamente ao número a = 2, o seu simétrico é "-2" e o inverso é "1/2".
No entanto, podemos dizer que "-2" é o elemento inverso de "2" relativamente à soma.
De forma genérica (exceto no caso da soma), usa-se a notação para designar o elemento inverso de .
Definição formal editar
Podemos enquadrar a definição na noção de grupóide, mas basta entender que se uma operação tiver um elemento neutro que verifica
- (elemento neutro à direita)
- (elemento neutro à esquerda)
para qualquer elemento do conjunto do grupóide. Então dizemos que
- é elemento inverso (à esquerda) de se verificar
- é elemento inverso (à direita) de se verificar
No caso em que há comutatividade, basta verificar uma das igualdades.
Igualdade dos inversos à esquerda e à direita editar
Mesmo não havendo comutatividade, convém notar que não há diferença entre esquerda e direita, se existirem os elementos.
O que pode ocorrer é haver inversa à esquerda e não existir à direita (ou vice versa). [1]
Com efeito, se for elemento neutro à esquerda e à direita, então temos:
- (porque é elemento neutro à esquerda, usando )
- (porque é elemento neutro à direita, usando )
logo são iguais, .
O mesmo acontece com o elemento inverso de qualquer .
Se for o seu elemento inverso à esquerda e à direita, então temos por associatividade:
ou seja, existindo, os elementos inversos à esquerda e à direita são iguais num semigrupo.
Outros exemplos editar
Matrizes editar
Para a soma, o elemento inverso de uma matriz é simplesmente (que corresponde simplesmente a fazer o simétrico de cada entrada).
Para a multiplicação de matrizes, o elemento inverso é a matriz inversa (que não já corresponde simplesmente a inverter cada uma das suas entradas). Nem todas as matrizes têm inverso, mesmo sem ter nenhuma entrada nula, há uma infinidade de matrizes que não são invertíveis. É condição necessária que a matriz seja quadrada.
Aritmética modular editar
Em aritmética modular, a soma definida por
tem também 0 como elemento neutro, mas que é equivalente a . Assim, podemos considerar como elemento inverso de :
- .
A multiplicação tem ainda 1 como elemento neutro, mas o cálculo do elemento inverso de deve ser feito pelo Algoritmo de Euclides, encontrando e tais que:
porque nesse caso, como obtemos
- .
Assim o valor do elemento inverso é dado pelo coeficiente obtido no Algoritmo de Euclides.
Por exemplo, se então a relação
permite obter e assim .
E, trocando os papéis, conclui-se ainda que .
O uso do elemento inverso em aritmética modular é um caso de aplicação em algoritmos de criptografia.
Tabela com exemplos editar
| Conjunto | Operação | Elemento neutro | Elemento inverso de a |
|---|---|---|---|
| Números reais | |||
| Números reais (sem zero) | |||
| Matrizes mxn | |||
| Matrizes invertíveis nxn | |||
| Álgebra booleana | |||
| Álgebra booleana |