Usuário(a):SchöneNeueWelt/Sigma-aditividade

Na Matemática, aditividade e σ-aditividade de uma função definida em subconjuntos de um dado conjunto são abstrações das propriedades intuitivas (comprimento, área, volume) de um conjunto.

Funções aditivas (ou finitamente aditivas)

Seja $\mu$ uma função definida em uma álgebra $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ com valores entre [−∞, +∞]. A função $\mu$ é dita aditiva (ou finitamente aditiva) se, sempre que A e B são conjuntos disjuntos em $\scriptstyle {\mathcal {A}}$, tem-se que

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (b).\,$

(Uma consequência disto é que uma função aditiva não pode assumir simultaneamente os valores −∞ e +∞, pois a expressão ∞ − ∞ é indefinida.)

É possível provar por indução matemática que uma função aditiva satisfaz

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})$

para quaisquer $A_{1},A_{2},\dots ,A_{N}$ conjuntos disjuntos em $\scriptstyle {\mathcal {A}}$.

Funções σ-aditivas

Suponha que $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ é uma σ-álgebra. Se para qualquer sequência $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots$ de conjuntos disjuntos dois a dois em $\scriptstyle {\mathcal {A}}$, tem-se que

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$,

diz-se que μ é σ-aditiva.

Toda função σ-aditiva é aditiva, mas a recíproca nem sempre é verdadeira (como é mostrado a seguir).

Funções τ-aditivas

Suponha que além de uma σ-álgebra $\scriptstyle {\mathcal {A}}$, tenha-se uma topologia τ. Se para qualquer família direcionada de conjuntos mensuráveis abertos $\scriptstyle {\mathcal {G}}$⊆$\scriptstyle {\mathcal {A}}$∩τ,

$\mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G)$,

diz-se que μ [e τ-aditiva. Em particular, se μ é