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Característica de Euler

Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por (a letra grega Chi).

A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial. Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.

DefiniçãoEditar

A característica de Euler de um complexo simplicial   é dada por

 

onde   é o número de células de dimensão  .

Característica de Euler de superfíciesEditar

 
A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2.

A característica de Euler de uma superfície   é dada por  , onde   e   são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de  . Em particular a característica de Euler:

  • da esfera é  
  • do plano projectivo é  
  • do disco é  
  • do toro é  
  • do anel é  
  • da garrafa de Klein é  
  • da fita de Möbius é  

e em geral  , onde   é o género de  , quando orientável e compacta.

Exemplos de poliedros convexosEditar

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).

Name Image Vértices
V
Arestas
A
Faces
F
Característica de Euler:
VA + F
Tetraedro   4 6 4 2
Hexaedro ou cubo   8 12 6 2
Octaedro   6 12 8 2
Dodecaedro   20 30 12 2
Icosaedro   12 30 20 2

Característica de Euler de variedades de dimensão ímparEditar

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.

Ver tambémEditar

  • Lakatos (1976). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521290384