Categoria (teoria das categorias)

estrutura em matemática
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A teoria das categorias é um estudo matemático abstrato de estruturas matemáticas e as relações existentes entre elas. Categoria é uma estrutura formada por objetos e morfismos que é estudada em Teoria das categorias.

DefiniçãoEditar

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

  • Uma classe de objetos  
  • Para cada par de objetos  , uma classe de morfismos (ou setas) de   para  , denotados por   ou   (e neste caso se diz que   é o objeto origem e   é o objeto destino da seta);
  • Uma operação chamada identidade,  , que associa a cada objeto   um morfismo   (também denotado por  ) que tem origem e destino em  ;
  • Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos   e   um morfismo   chamado morfismo composto de   e  , tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
    • (associatividade) Sejam  ,   e  . Então  ;
    • (identidade) O morfismo identidade ida satisfaz, para todos morfismos   e  ,   e  .

Alguns autores exigem que   a menos que   e  ; porém, é desnecessário explicitar isso, pois pode-se sempre ajustar as classes de morfismos (trocando cada   pela tripla  ), de modo que essa condição seja satisfeita.[1]

Exemplos de categoriasEditar

  • A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
  • A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
  • A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
  • A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
  • Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
  • Um conjunto parcialmente ordenado   define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto  . Um único morfismo entre dois elementos   e   é definido se  . A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Categorias pequenas e grandesEditar

Na teoria de conjuntos (mais precisamente axiomas de Zermelo-Fraenkel), não há conjunto incluindo todos os conjuntos. Similarmente, não há categoria incluindo todos os conjuntos (ou grupos, espaços topológicos etc.)[2] Isso pode ser resolvido, usando universos de Grothendieck. Dado   universo, chame um conjunto de ( -)pequeno se ele for membro de  . Então,   será a categoria dos conjuntos pequenos. Dado o axioma de universos, temos uma sequência:

 
em que   são universos.

Uma categoria é ( -)pequena quando o conjunto de objetos e o conjunto de setas são ( -)pequenos. Notar que   é assim uma categoria  -grande.

Na prática, o prefixo " -" é omitido.[3]

Categoria opostaEditar

Para cada categoria  , temos a categoria oposta (ou dual)  , obtida invertendo a direção das setas de  . Mais precisamente,   tem os mesmos objetos que  , e cada morfismo   em   é denotado por   para exatamente um morfismo  ; identidades são  , e composição é definida por

 
para setas de domínio e contradomínio adequados.

A cada teorema do formato "para toda categoria  ,   é verdade", há o costume de expressar o caso particular " " sem envolver a definição de categoria oposta (por exemplo, trocando "domínio" com "contradomínio", "monomorfismo" com "epimorfismo" etc.). Isso pode deixar mais fácil de encontrar demonstrações de outros resultados.[4]

Produto de categoriasEditar

A categoria   das categorias pequenas (e functores como morfismos) tem produtos binários. Eis uma construção explícita.[5] Dadas categorias  , os objetos de   são as duplas  , com   objeto de   e   objeto de  , e os morfismos   são as duplas de morfismos   e  . A identidade de   é  , e composições são dadas por:

 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. (Mac Lane, §I.8)
  2. (Mac Lane, §I.6): "Our foundation […] does not provide sets to represent certain metacategories, such as the metacategory of all sets or that of all groups."
  3. (Mac Lane, §I.6)
  4. (Mac Lane, §I.1, §I.2): "For more complicated theorems, the duality principle is a handy way to have (at once) the dual theorem. No proof of the dual theorem need be given. We usually leave even the formulation of the dual theorem to the reader."
  5. (Mac Lane, §II.3, III.4."products")
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
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