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IntroduçãoEditar

Existem três componentes básicos de circuitos analógicos: o resistor (R), o capacitor/condensador (C) e o indutor (L). Estes podem ser combinados em quatro importantes circuitos, o circuito RC, o circuito RL, o circuito LC e o circuito RLC, com as abreviações indicando quais componentes são utilizados. Estes circuitos, entre eles, exibem um grande número de tipos de comportamentos que são fundamentais em grande parte da eletrônica analógica. Em particular, eles são capazes de atuar como filtros passivos. Este artigo considera o circuito RC, em ambas as ligações paralela e série, como mostrado nos diagramas.

Este artigo se baseia no conhecimento da representação complexa das impedâncias e no conhecimento da representação de sinais no domínio da frequência.

Impedância complexaEditar

A impedância complexa ZC (em ohms) de um capacitor com capacitância C (em farads) é:

 

A frequência angular s é, em geral, um número complexo,

 

onde:

 

Estado sinusoidal constanteEditar

O estado sinusoidal(senoidal) constante é um caso especial em que a tensão de entrada consiste de uma senóide pura (sem nenhum decaimento exponencial). Como resultado, temos

 

e a avaliação de s se torna

 

Circuito sérieEditar

 
Circuito RC série

Vendo o circuito como um divisor de tensão, vemos que a tensão sobre o capacitor é dada por:

 

e a tensao sobre o resistor é dada por:

 .

Funções de transferênciaEditar

A função de transferência para o capacitor é

 

Similarmente, a função de transferência do resistor é

 

Pólo e zerosEditar

Ambas as funções de transferência possuem um pólo localizado em

 

Em adição a função de transferência do resistor possui um zero localizado na origem.

Ganho e fase angularEditar

Os ganhos através dos dois componente são:

 

e

 ,

e as fases angulares são:

 

e

 .

Estas expressões juntas podem ser substituídas pela expressão usual do fasor representando a saída:

 
 .

CorrenteEditar

A corrente no circuito é a mesma em todos os lugares, visto que o circuito apresenta somente ligações série:

 

Resposta de impulsoEditar

A resposta de impulso para cada tensão é a transformada de Laplace inversa de função de transferência correspondente. Ela representa a resposta de um circuito a uma tensão de entrada consistindo de um impulso ou de uma função delta.

A resposta de impulso para o capacitor é

 

aonde u(t) é a função de passo Heaviside e

 

é a constante de tempo.

Similarmente, a resposta de impulso para a tensão do resistor é

 

Considerações no domínio da frequênciaEditar

Estas são expressões no domínio da frequência. Uma análise delas irá mostrar quais frequências os circuitos permitem a passagem ou rejeita. Esta análise se concentra em uma consideração sobre o que acontece com estes ganhos conforme a frequência se torna muito grande ou muito pequena.

Com  :

 
 .

Com  :

 
 .

Isto mostra que, se a saída é obtida através do capacitor, as altas frequências são atenuadas (rejeitadas) e a baixas frequências passam. Desta forma, o circuito se comporta como um filtro passa-baixas. Entretanto, se a saída é obtida através do resistor, as altas frequências passam e as baixas frequências são rejeitadas. Nesta configuração, o circuito se comporta como um filtro passa-altas.

A faixa de frequências que o filtro passa é chamada de largura de banda. O ponto no qual o filtro atenua o sinal para   é nomeado como frequência de corte. Isto implica que a potência consumida no resistor equivale à metade da que seria consumida caso o capacitor fosse substituído por um curto-circuito e requer que o ganho do circuito seja reduzido para

 .

Resolvendo a equação acima chegamos a

 rad/s

ou

 Hz

que é a frequência na qual o filtro irá atenuar a potência do sinal para sua metade.

A fase também depende da frequência, apesar de este efeito ser geralmente menos considerado que as variações de ganho.

Com  :

 
 .

Com  :

 
 

Então sob corrente contínua (0 Hz), a tensão do capacitor está fase com a tensão do sinal enquanto a tensão do resistor está 90° à sua frente. Conforme a frequência aumenta, e tensão do capacitor ver a ter um atraso de 90° com relação ao sinal e a tensão do resistor fica em fase com o sinal.

Considerações no domínio do tempoEditar

Esta seção se baseia no conhecimento de e, a constante logarítmica natural.

O método mais direto de derivar o comportamento no domínio do tempo é utilizando-se a transformada de Laplace das expressões para   e   dadas acima. Isto efetivamente transforma  . Assumindo uma entrada de passo (i.e.   antes de   e   posteriormente):

 
 

e

 .
 
Resposta de passo da tensão do capacitor.
 
Resposta de passo da tensão do resistor.

As expansões das frações parciais e a transformada de Laplace invertida levam a:

 
 .

Desse modo, a tensão sobre o capacitor tende a V conforme o tempo passa, enquanto a tensão sobre o resistor tende a zero, como é mostrado nos gráficos. Isto é de acordo com o conceito intuitivo de que o capacitor estará se carregando pela fonte de tensão conforme o tempo passa, e estará eventualmente totalmente carregado, formando assim um circuito aberto.

Estas equações mostram que um circuito RC série possui uma constante de tempo, usualmente representada por   sendo o tempo que a tensão leva para subir (sobre C) ou descer (sobre R) até   de seu valor final. Desta forma,   é o tempo que   leva para atingir   e o tempo que   leva para atingir  .

A taxa de mudança é uma fracional   por  . Desta forma, indo de   a  , a tensão irá atingir cerca de 63% de seu valor quando  , quando estará próximo de seu valor final. Então C irá se carregar cerca de 63% após  , e quase totalmente carregado (99.3%) após cerca de  . Quando a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito, com C totalmente carregado, a tensão através de C se reduz exponencialmente em t com   tendendo a 0. C será descarregado até cerca de 37% após  , e quase completamente descarregado (0.7%) após cerca de  . Note que a corrente no circuito ,  , possui um comportamento semelhante à tensão através do resistor R, através da Lei de Ohm.

Estes resultados podem ser derivados resolvendo-se as equações diferenciais que descrevem o circuito:

 

e

 .

A primeira equação é resolvida utilizando-se um fator integrante e a segunda segue facilmente. As soluções são as mesmas que são obtidas através de transformação de Laplace.

IntegradorEditar

Considere a saída sobre o capacitor em uma alta frequência, sendo que

 .

Isto significa que o capacitor possui tempo insuficiente para se carregar, e desta forma sua tensão é muito pequena. Dessa forma a tensão na entrada é aproximadamente igual à tensão no resistor. Para visualizar esta condição, considere a expressão para   dada abaixo:

 

note que a condição de frequência descrita implica que

 

então

  que é apenas a lei de Ohm.

Agora,

 

então

 ,

que é um integrador "através do capacitor".

DiferenciadorEditar

Considere a saída através do resistor a uma baixa frequência, de modo que

 .

Isto significa que o capacitor necessita de um período de tempo para se carregar até que sua tensão esteja aproximadamente igual à da tensão da fonte. Considerando a expressão para  , quando

 ,

temos que

 
 

Agora,

 
 

que é um diferenciador "através do resistor".

Operações de integração e derivação mais precisas podem ser obtidas colocando-se resistores e capacitores de maneira apropriada na entrada do sinal e na malha de realimentação (feedback) dos amplificadores operacionais.

Circuito paraleloEditar

 
Circuito RC paralelo

O circuito RC paralelo é geralmente de menor interesse que o circuito série. Isto ocorre em maior parte pelo fato de a tensão de saída   ser igual à tensão de entrada  . Como resultado, este circuito não atua como um filtro no sinal de entrada, a menos que este seja alimentado por uma fonte de corrente.

Com impedâncias complexas:

 

e

 .

Isto mostra que a corrente do capacitor está 90° fora de fase com relação à corrente do resistor e à corrente da fonte. Alternativamente, as seguintes equações diferenciais podem ser utilizadas:

 

e

 .

Para uma saída de passo (que é efetivamente um sinal de 0 Hz, ou CC), a derivada da saída é um impulso em  . Desta maneira, o capacitor atinge a carga completa muito rapidamente e se torna o equivalente a um circuito aberto, sendo este o comportamendo característico do capacitor em corrente contínua.

Referências

  1. Bundel behorende bij elektrische circuits, Deel A en B, door Ir. P. van der Kloet, Ir. N.H. Waning en Dr. ir. F.L. Neerhoff, 1987, Faculteit der Elektrotechniek, TU Delft
  2. Electrische Circuits deel A en B, door Dr. ir. F.L. Neerhoff, september 1990, Faculteit der Elektrotechniek, TU Delft

Ver tambémEditar