Coordenadas cilíndricas parabólicas

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a . Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Superfícies coordenadas das coordenadas cilíndricas parabólicas. O cilindro parabólico vermelho corresponde a σ = 2, enquanto o cilindro parabólico amarelo corresponde a τ = 1. O plano azul corresponde a z= 2. Estas superfícies se cruzam no ponto P (mostrado como uma esfera preta), cujas coordenadas cartesianas são aproximadamente (2, -1,5, 2).

Definição básica

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Sistema de coordenadas parabólicas mostrando as curvas com σ e τ constantes. Os eixos horizontal e vertical são as coordenadas x e y, respectivamente. Tais coordenadas são projetadas ao longo do eixo z, e assim este diagrama vale para qualquer valor da coordenada z.

As coordenadas cilíndricas parabólicas   são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z)  por:

 
 
 

As superfícies com   constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

 

com concavidade voltada para a direção  , ao passo que as superfícies com   constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

 

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção  . Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por  . O raio r tem uma equação simples, a saber,

 

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala

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Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas   e   são:

 
 

O elemento infinitesimal de volume é

 

e o laplaciano é igual a

 

Outros operadores diferenciais tais como   e   podem ser expressos nas coordenadas   substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico

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Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z  são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

 

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

 

Uma vez que a equação em Z  está separada dos outros termos, podemos escrever

 

Onde m  é constante. A solução para Z(z) é:

 

Substituindo   por   , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

 

Ainda podemos separar as funções S  e T  e introduzir uma constante   para obter:

 
 

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

 
 

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

 

Aplicações

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As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.

Ver também

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  • Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

Referências

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  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, LCCN 52-11515|0-07-043316-X, <span class="noprint"> [[Número de controle da Biblioteca do Congresso|LCCN]]&nbsp;[http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] Verifique |isbn= (ajuda) 
  • Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 186–187. LCCN 55-10911 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 181. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7 
  • Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96. LCCN 67-25285 
  • Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302 

Ligações externas

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