Função totiente de Euler
A função totiente, por vezes também chamada de função tociente, ou função phi (fi), – representada por φ(x) – é, na teoria dos números, definida para um número natural x como sendo igual à quantidade de números menores ou igual a x co-primos com respeito a ele. Matematicamente:
Por exemplo, φ(8) = 4, uma vez que 1, 3, 5 e 7 são co-primos de 8. Um outro exemplo, φ(1) = 1 pois mdc(1, 1) = 1. A função é por vezes chamada função totiente de Euler, pois foi o matemático suíço Leonhard Euler quem a determinou. A função totiente é também chamada simplesmente por função fi, por ser essa (φ) a letra grega usada para representá-la.
A função totiente é importante principalmente porque fornece o tamanho do grupo multiplicativo de inteiros módulo n — mais precisamente, φ(n) é a cardinalidade do grupo de unidades do anel Z/nZ. Este fato, ao lado do teorema de Lagrange, fornece a prova do teorema de Euler.
A função totiente possui esse nome graças ao matemático inglês James Joseph Sylvester, que gostava de inventar palavras novas e diferentes para as coisas com as quais lidava.
Calculando os valores da função
editarSe onde os são os fatores primos (distintos) de e sua respectiva multiplicidade, então pode-se determinar o valor da função em
A última fórmula é um produto de Euler e frequentemente se escreve como:
sendo que este produto varia apenas sobre os primos distintos p que dividem n.
Esta fórmula pode ser deduzida mostrando-se que a função é multiplicativa, e observando-se que, para um primo p,
Propriedades da função
editarSe Então:
Prova: é primo, se não é primo então Agora só é necessário provar que
Prova: Se sendo primos, e inteiros.
onde se ou se segue então:
O que conclui a prova.
Ver também
editarBibliografia
editar- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.
- Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
- Kirby Urner, Computing totient function in Python and scheme, (2003)
Ligações externas
editar- Miyata, Daisuke & Yamashita, Michinori, Derived logarithmic function of Euler's function
- Bordellès, Olivier, Numbers prime to q in
- Calcule ø(n)para um número até 231.
- Teoria dos Números