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Função totiente de Euler

função que retorna o número de inteiros relativamente primos à sua entrada
A função φ de Euler.

A função totiente, por vezes também chamada de função tociente, ou função phi (fi), – representada por φ(x) – é, na teoria dos números, definida para um número natural x como sendo igual à quantidade de números menores ou igual a x co-primos com respeito a ele. Matematicamente:

Por exemplo, φ(8) = 4, uma vez que 1, 3, 5 e 7 são co-primos de 8. Um outro exemplo, φ(1) = 1 pois mdc(1, 1) = 1. A função é por vezes chamada função totiente de Euler, pois foi o matemático suíço Leonhard Euler quem a determinou. A função totiente é também chamada simplesmente por função fi, por ser essa (φ) a letra grega usada para representá-la.

A função totiente é importante principalmente porque fornece o tamanho do grupo multiplicativo de inteiros módulo n — mais precisamente, φ(n) é a cardinalidade do grupo de unidades do anel Z/nZ. Este fato, ao lado do teorema de Lagrange, fornece a prova do teorema de Euler.

A função totiente possui esse nome graças ao matemático inglês James Joseph Sylvester, que gostava de inventar palavras novas e diferentes para as coisas com as quais lidava.

Índice

Calculando os valores da funçãoEditar

Se   onde os   são os fatores primos (distintos) de   e   sua respectiva multiplicidade, então pode-se determinar o valor da função em  

 

A última fórmula é um produto de Euler e frequentemente se escreve como:

 

sendo que este produto varia apenas sobre os primos distintos p que dividem n.

Esta fórmula pode ser deduzida mostrando-se que a função é multiplicativa, e observando-se que, para um primo p,  

Propriedades da funçãoEditar

Se   Então:

 

Prova:   é primo, se   não é primo então   Agora só é necessário provar que  

Prova: Se   sendo   primos, e   inteiros.

  onde   se   ou   se   segue então:

 

O que conclui a prova.

Ver tambémEditar

BibliografiaEditar

Ligações externasEditar

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