Hipótese de Lindelöf

Hipótese de Lindelöf é uma conjectura feita pelo matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf (Lindelöf (1908)) sobre a taxa de crescimento da função zeta de Riemann na linha crítica implícita na hipótese de Riemann.

Para qualquer ε > 0, 

à medida que t tende para o infinito (Notação Big O). Já que ε pode ser substituído por um valor menor, podemos escrever a conjectura da seguinte forma: para qualquer positivo ε,

A função μEditar

Se σ é real, então µ(σ) é definido como sendo o ínfimo de todos os números reais 'a' , tais que ζ(σ + iT) = S(T a). Podemos ver que µ(σ) = 0 para s > 1, e a equação funcional da função zeta implica que µ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. O Princípio de Phragmen–Lindelöf implica que µ é uma função convexa. Os estados μ(1/2) = 0, juntamente com as propriedades de μ implicam que µ(σ) é de 0 para σ ≥ 1/2 e 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

O resultado de convexidade de Lindelöf implica junto com μ(1) = 0 e µ(0) = 1/2 em 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. O limite superior foi reduzido de 1/4 a 1/6 por Hardy e Littlewood  com a aplicação do método de estimativa de somas exponenciais de Weyl para a equação funcional aproximada. Desde então, o limite foi reduzido para pouco menos de 1/6 por diversos outros autores, utilizando longas provas técnicas, como a seguir:

μ(1/2) ≤ μ(1/2) ≤ Autor
1/4 0.25 Lindelöf (1908)
1/6 0.1667 Hardy & Littlewood (?)
163/988 0.1650 Walfisz (1924)
27/164 0.1647 Titchmarsh (1932)
229/1392 0.164512 Phillips (1933)
0.164511 Rankin (1955)
19/116 0.1638 Titchmarsh (1942)
15/92 0.1631 Min (1949)
6/37 0.16217 Haneke (1962)
173/1067 0.16214 Kolesnik (1973)
35/216 0.16204 Kolesnik (1982)
139/858 0.16201 Kolesnik (1985)
32/205 0.1561 Huxley (2002, 2005)
53/342 0.1550 Bourgain (2014)
13/84 0.1548 Bourgain (2016)

Relação com a hipótese de RiemannEditar

Backlund (1918–1919) , mostrou que a Hipótese de Lindelöf equivale a declaração sobre os zeros da função zeta: para cada ε > 0, o número de zeros com parte real de pelo menos 1/2 + ε e a parte imaginária entre T e T + 1 é O(log(T)) T tende para o infinito. A hipótese de Riemann implica que não existem zeros em todos nessa região, e isso implica na Hipótese de Lindelöf. O número de zeros com parte imaginária entre T e T + 1 é conhecido por ser O(log(T)), de modo que a Hipótese de Lindelöf fica parecendo ser apenas um pouco mais forte do que o provado, mas, apesar disso, ele tem resistido a todas as tentativas para provar isso.

Meios de poderes (ou momentos) da função zetaEditar

A Hipótese de Lindelöf equivale a:

 

Para todos os números inteiros positivos k e todos os números reais positivos ε. Isto tem sido provado para k = 1 ou 2, mas o caso k = 3, parece muito mais difícil e é ainda um problema em aberto.

Acredita-se que exista uma conjectura mais precisa sobre o comportamento assintótico da integral a seguir, para algumas constantes ck,j.

 

Provado para k = 1 e k = 2 por Littlewood e Heath-Brown (1979) respectivamente (a partir de um resultado de  Ingham (1926), que encontrou um termo líder).

Conrey & Ghosh (1998) sugeriu que o valor   para o coeficiente principal, quando k é 6, e Keating & Snaith (2000) usado matriz aleatória para sugerir algumas conjecturas para os valores dos coeficientes maiores que k. Os coeficientes principais foram conjecturados para serem o produto de um fator elemental, um determinado produto sobre os números primos e o número de n por n Diagrama de Young dada pela sequência:

  • 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, (sequência A039622 na OEIS).

Outras consequênciasEditar

O n-ésimo número primo  é denotando por pn, e Albert Ingham mostrou um resultado, que mostra a Hipótese de Lindelöf  implica para qualquer ε > 0,

 

se n é suficientemente grande. Porém, esse resultado é muito pior do que a conjectura primeiro-gap.

ReferênciasEditar