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A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 pelo matemático Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann ζ(s) pertencem todos à "linha crítica"[1] :

Problemas do Prémio Millennium
P versus NP
Conjectura de Hodge
Conjectura de Poincaré (solução)
Hipótese de Riemann
Existência de Yang-Mills e intervalo de massa
Existência e suavidade de Navier-Stokes
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
 
Gráficos das partes real (a vermelha) e imaginária (a azul) da linha crítica da função zeta de Riemann. Podem ver-se os primeiros zeros não triviais em Im(s) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.
Um gráfico polar de zeta, ou seja, Re(zeta) vs. Im(zeta), ao longo da linha crítica s=it+1/2, com t com valores de 0 a 34.

onde denota a parte real de s.

Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares: .

A hipótese de Riemann, devido à relação que tem com a distribuição de números primos no conjunto dos naturais, é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem o provar.[2]

A maior parte da comunidade matemática crê que a conjetura é correta, embora outros grandes matemáticos como J. E. Littlewood e Atle Selberg se tenham mostrado cépticos, embora o cepticismo de Selberg fosse diminuindo.

Essência básica do conceitoEditar

No coração da hipótese de Riemann existe uma entidade matemática enigmática conhecida como função zeta de Riemann. Está intimamente ligado a números primos e como eles são distribuídos ao longo da linha numérica. A hipótese de Riemann sugere que o valor da função é igual a zero apenas nos pontos que caem em uma única linha quando a função é representada graficamente, com a exceção de certos pontos óbvios. Mas, como a função tem infinitamente muitos desses “zeros”, isso não é fácil de confirmar. Mas a conjectura é tão difícil de verificar e não tem sinal algum de que uma solução está próxima.

Relação com números primosEditar

Por razões mais profundas, o problema está relacionado com várias questões sutis envolvendo os números primos. Por exemplo: se   denota o  -ésimo número primo (de modo que  ,  ,  ,  ,   e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabelece que a diferença entre dois números primos consecutivos,  , cresce "na mesma velocidade" que  . Mais especificamente, existe uma constante real positiva   de maneira que vale a desigualdade

 

para todo   suficientemente grande. Para provar este resultado, a demonstração de Cramer utilizou crucialmente a Hipótese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princípio ser falso, caso a Hipótese também seja.

Abordagens recentesEditar

O professor nigeriano Dr. Opeyemi Enoch, que leciona na Universidade Federal de Oye-Ekiti, afirmou ter resolvido o problema em novembro de 2015. Entretanto, isso parece não ser verdade: no blog Aperiodical, os matemáticos Katie Steckles e Christian Lawson-Perfect expressam seu ceticismo, dizendo que a Hipótese de Riemann seguramente não foi resolvida. Eles escrevem: "Infelizmente, parece que neste caso não temos uma prova real da hipótese de Riemann… há um artigo no academia.edu sob o nome de Enoch, que na verdade é uma cópia de um artigo de outra pessoa chamada Werner Raab… Estranhamente, Enoch parece estar reunindo vários estudos sobre a Hipótese de Riemann no site academia.edu sob seu próprio nome."

Matemáticos fizeram o avanço abordando uma questão relacionada sobre um grupo de expressões conhecidas como polinômios de Jensen[3] em 2019.[4]

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar