Equação de Poisson

Em matemática, a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial com uma ampla utilidade em eletrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

DefiniçãoEditar

Em um conjunto aberto  , a equação de Poisson é definida por[1]:

 

onde,   é uma função chamada de termo fonte e   denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

 

Aqui, a incógnita   é uma função de   em   Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por  . Esta notação é motivada pelo fato de que  , onde   denota o gradiente. Quando   a equação é chamada de equação de Laplace.

Caso em duas dimensõesEditar

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano  , a equação de Poisson toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

 .

Em coordenadas polares  , a equação torna-se:

 ,

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis  ,  ,   e  .

Caso em três dimensõesEditar

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano  , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

 .

Em coordenadas cilíndricas  , a equação torna-se:

 

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis  ,  ,  ,   e  .

Em coordenadas esféricas  , a equação toma a forma:

 .

SoluçõesEditar

Para resolver uma equação de Poisson podem-se utilizar vários métodos como, por exemplo, uma função de Green ou métodos numéricos como o método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) ou o Element Free-Gallerkin Method (EFGM).

Solução em RnEditar

Pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em  :

 

supondo  , i.e.   é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por:

 

onde,   é a solução fundamental da equação de Laplace[1].

DemonstraçãoEditar

Mostraremos, primeiro, que   Note que:

 .

Como  , temos

 

e, de forma análoga, temos

 

o que mostra que   No cálculo acima,   denota o  -ésimo vetor da base canônica do  .

Mostraremos, agora,  . Como   tem uma singularidade em  , tomamos   e escrevemos[1]:

(1)\quad  

Aqui,   denota a bola de centro   e raio  . Estimando o primeiro termo, vemos que:

(2)\quad  

Aqui,   denota a norma  . Já o segundo termo pode ser integrado por partes, o que nos fornece:

(3)\quad  

Aqui,   denota a derivada normal de  . Estimando este último termo, obtemos:

(4)\quad  

Se integrarmos por partes o penúltimo termo de (3) novamente, vemos que:

(5)\quad  

Aqui, o penúltimo termo é nulo, pois   em  . E, este último termo é tal que:

(6)\quad  

pois, notemos que o termo a direita deste símbolo de igualdade é a média de   sobre a fronteira da bola  . Voltando a (1) e usando as conclusões de (2)-(6), concluímos que  .

Condições de contornoEditar

A equação de Poisson em domínios limitados deve ser complementada com condições de contorno.

Condição de contorno de DirichletEditar

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Dirichlet quando a função incógnita   é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

 

UnicidadeEditar

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se   é conexo,   e  , então existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses[1].

A unicidade de solução também é garantida mesmo que   não seja conexo. Com efeito, assumindo   aberto, limitado,   e   duas soluções do mesmo problema acima, então tomando   temos:

 

Agora, usando de integração por partes, obtemos:

 

o que implica que   que, por sua vez, implica   constante. Como   em  , temos   em  , i.e.  , como queríamos demonstrar.

Condição de contorno de NeumannEditar

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Neumann quando a derivada normal da função incógnita   é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

 

Referências

  1. a b c d Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743 
  2. Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 8524400269