Lista de transformadas de Laplace

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável. Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

A transformada de Laplace é definida como:

$F(s)={\mathcal {L}}\{f(s)\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

• A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

• A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso $\tau$ são obrigadas a serem causais (para $\tau$ > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti-causal.

Função	Domínio de tempo $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	Laplace s-domínio $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	Região de Convergência	Referência
impulso unitário	$\delta (t)\$	$1$	todo s	inspeção
impulso atrasado	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$		mudança de tempo do impulso unitário
Degrau Unitário	$u(t)\$	${1 \over s}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário
Função Constante	$k\cdot u(t)$	$k/s$	Re(s) > 0	Convolução
passo único atrasado	$u(t-\tau )\$	${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$	Re(s) > 0	mudança de tempo do passo único
rampa	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário duas vezes
n-ésima potência ( para n inteiro)	$t^{n}\cdot u(t)$	${n! \over s^{n+1}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Integral do passo único n vezes
q-ésima potência (para q complexo)	$t^{q}\cdot u(t)$	${\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}$	Re(s) > 0 Re(q) > −1
n-ésima raiz	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)$	Re(s) > 0	Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência	$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada com mudança de frequência	$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único, aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	Mudança de frequência do passo único
Decaimento exponencial bilateral	$e^{-\alpha |t|}\$	${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$	−α < Re(s) < α	Mudança de frequência do passo único
Exponencial genérica	$a^{t}\cdot u(t)$	$1/(s-ln(a))$	Re(s) > ln(a)	Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	Re(s) > 0	passo único menos decaimento exponencial
Seno	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, p. 227
Cosseno	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial onda senoidal	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial onda cossenoidal	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural	$\ln(t)\cdot u(t)$	$-{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]$	Re(s) > 0	Williams 1973, p. 88
Logaritmo genérico	$log_{a}(x)\cdot u(t)$	$-(ln(s)+\gamma )/(s\centerdot ln(a))$	Re(s) > 0	Adaptação da transformada do logaritmo natural
Função de Bessel de primeira espécie, de ordem n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Williams 1973, p. 89
Função erro	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${\frac {1}{s}}e^{{\frac {1}{4}}s^{2}}\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)$	Re(s) > 0	Williams 1973, p. 89
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (I)	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\theta )\cdot u(t)$	${\frac {\cos(\theta )s+\alpha \cos(\theta )-\omega \sin(\theta )}{s^{2}+2\alpha s+\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > −α
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (II)	$Ce^{-\alpha t}\cos(\omega t+\theta )\cdot u(t)$	${\frac {As+B}{s^{2}+2\alpha s+\beta }}$ $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha ^{2}}}$ $C={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {A^{2}\beta +B^{2}-2AB\alpha }}$ $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {A\alpha -B}{A\omega }}\right)$	Re(s) > −α
decaimento exponencial onda cossenoidal deslocada (III)	$e^{-\alpha t}\left[A\cos(\omega t)-{\frac {B-A\alpha }{\omega }}\sin(\omega t)\right]\cdot u(t)$	${\frac {As+B}{s^{2}+2\alpha s+\beta }}$ $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha ^{2}}}$	Re(s) > −α
Produto de exponencial por seno hiperbólico	$\exp(-at)sinh(bt)\cdot u(t)$	$b/(s+a)(s^{2}-b^{2})$	Re(s) > Max(-a,|b|)	Convolução
Produto de exponencial por cosseno hiperbólico	$\exp(-at)cosh(bt)\cdot u(t)$	$s/(s+a)(s^{2}-b^{2})$	Re(s) > Max(-a,|b|)	Convolução
Produto de exponencial por logaritmo natural	$\exp(-at)\ln(t)\cdot u(t)$	$-[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}+sa)$	Re(s) > Max(-a,0)	Convolução
Produto de monômio por seno	$t^{n}sin(\omega t)\cdot u(t)$	$n!\omega /s^{n}(s^{3}+\omega ^{2}s)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por cosseno	$t^{n}cos(\omega t)\cdot u(t)$	$n!s/s^{n}(s^{3}+\omega ^{2}s)$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por seno hiperbólico	$t^{n}sinh(at)\cdot u(t)$	$n!a/s^{n}(s^{3}-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de monômio por cosseno hiperbólico	$t^{n}cosh(at)\cdot u(t)$	$n!s/s^{n}(s^{3}-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de monômio por função erro	$t^{n}erf(t)\cdot u(t)$	$n!\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/s^{2}s^{n}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de monômio por logaritmo natural	$t^{n}ln(t)\cdot u(t)$	$n![ln(s)+\gamma ]/s^{2}s^{n}$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno por cosseno	$sin(at)cos(bt)\cdot u(t)$	$sb/(s^{2}+a^{2})(s^{2}+b^{2})$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno por seno hiperbólico	$sin(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)$	$a\omega /(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno por cosseno hiperbólico	$sin(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)$	$s\omega /(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno por logaritmo natural	$sin(at)ln(t)\cdot u(t)$	$\omega [ln(s)+\gamma ]/(s^{3}+s\omega ^{2})$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de cosseno por seno hiperbólico	$cos(\omega t)sinh(at)\cdot u(t)$	$as/(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno por cosseno hiperbólico	$cos(\omega t)cosh(at)\cdot u(t)$	$s^{2}/(s^{2}-a^{2})(s^{2}+\omega ^{2})$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno por função erro	$cos(\omega t)erf(t)\cdot u(t)$	$\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{2}+\omega ^{2})$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de cosseno por logaritmo natural	$cos(\omega t)ln(t)\cdot u(t)$	$[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}+\omega ^{2})$	Re(s) > 0	Convolução
Produto de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico	$sinh(at)cosh(bt)\cdot u(t)$	$sa/(s^{2}-a^{2})(s^{2}-b^{2})$	Re(s) > Max(|a|, |b|)	Convolução
Produto de seno hiperbólico por função erro	$sinh(at)erf(t)\cdot u(t)$	$a\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{3}-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de seno hiperbólico por logaritmo natural	$sinh(at)ln(t)\cdot u(t)$	$a[ln(s)+\gamma ]/(s^{3}-a^{2}s)$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por função erro	$cosh(at)erf(t)\cdot u(t)$	$\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))/(s^{2}-a^{2})$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por logaritmo natural	$cosh(at)ln(t)\cdot u(t)$	$[ln(s)+\gamma ]/(s^{2}-a^{2})$	Re(s) > |a|	Convolução
Produto de função erro por logaritmo natural	$erf(t)ln(t)\cdot u(t)$	$\exp(s^{2}/4)(1-erf(s/2))[ln(s)+\gamma ]/s^{2}$	Re(s) > 0	Convolução
Tangente de t	$\tan(t)$	$-{i \over s}-{i \over 2}(\pi \csc h({\pi s \over 2}))-{1 \over 2\psi }({1 \over 2}+{si \over 4})+\psi ({si \over 8})$	Re(s) > 0	Inspeção
Cotangente de t	$\cot(t)$	$\int _{0}^{t}{exp(-pt)\cot(t)dt \over 1+exp(-p\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
Secante de t	$\sec(t)$	$-{i \over 2}(\pi \sec h({\pi s \over 2}))-\psi ({1 \over 4}+{si \over 4})+\psi ({si \over 4}+{3 \over 4})$	Re(s) > 0	Inspeção
Cossecante de t	$\csc(t)$	$\int _{0}^{2\pi }{exp(-st)\csc(t)dt \over 1-exp(-2s\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
Tangente hiperbólico de t	$\tanh(t)$	${1 \over 2s}(-s\psi ({s \over 4})+s\psi ({s+2 \over 4}))$	Re(s) > 0	Inspeção
Cotangente hiperbólico de t	$\coth(t)$	$\int _{0}^{i\pi }{exp(-st)\coth(t)dt \over 1-exp(-is\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
Secante hiperbólico de t	$\sec h(t)$	${1 \over 2}(\psi ({s+3 \over 4})-\psi ({s+1 \over 4}))$	Re(s) > 0	Inspeção
Cossecante hiperbólico de t	$\csc h(t)$	$\int _{0}^{2i\pi }{exp(-st)\csc h(t)dt \over 1-exp(-2is\pi )}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' seno de t	$a\sin(t)$	${i\pi (iLo(s)+Yo(-is) \over 2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' cosseno de t	$a\cos(t)$	${(\pi Lo(s)-\pi Io(s)+2iKo(s)+\pi ) \over 2s}$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' tangente de t	$a\tan(t)$	$(2Ci(s)\sin(s))+(\pi -2Si(s))\cos(s) \over 2s$	Re(s) > 0	Inspeção
'a' seno hiperbólico de t	$a\sin h(t)$	$\pi (Ho(s)-Yo(s)) \over 2s$	Re(s) > 0	Inspeção
Seno de t ao quadrado	$\sin(t^{2})$	${{\sqrt {\pi \over 2}} \over 2}[(-2C({s \over {\sqrt {2\pi }}})\cos({s^{2} \over 4})-2S({s \over {\sqrt {2\pi }}})\sin({s^{2} \over 4}))+\sin({s^{2} \over 4})+{\sqrt {s^{-4}}}s^{2}\cos({s^{2} \over 4})]$	Re(s) > 0	Inspeção
Cosseno de t ao quadrado	$\cos(t^{2})$	${{\sqrt {\pi \over 2}} \over 2}[(2C({s \over {\sqrt {2\pi }}})-1)\sin({s^{2} \over 4})-2S({s \over {\sqrt {2\pi }}})\cos({s^{2} \over 4})+\cos({s^{2} \over 4})]$	Re(s) > 0	Inspeção
Seno hiperbólico de t ao quadrado	$\sin h(t^{2})$	$(2F({s \over 2})-{\sqrt {(}}\pi )e^{({s^{2} \over 4})}erfc({s \over 2})) \over 4$	Re(s) > 0	Inspeção
Cosseno hiperbólico de t ao quadrado	$\cos h(t^{2})$	$(2F({s \over 2})+{\sqrt {(}}\pi )e^{({s^{2} \over 4})}erfc({s \over 2})) \over 4$	Re(s) > 0	Inspeção
Nota explicatória: u(t) representa a Função de Heaviside. $\delta (t)\,$ representa a Delta de Dirac. Γ(z) representa a Função gama. γ é a Constante de Euler-Mascheroni. t, um número real, tipicamente representa tempo, embora possa representar qualquer dimensão independente. s é a Frequência angular complexa, e Re(s) é sua parte real. α, β, τ, e ω são números reais. n é um Número inteiro.