Lista de transformadas de Laplace

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[1][2][3] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

A transformada de Laplace é definida como:[4]

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

  • A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.
  • A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso são obrigadas a serem causais (para > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti-causal.

Função Domínio de tempo
Laplace s-domínio
Região de Convergência Referência
impulso unitário todo s inspeção
impulso atrasado mudança de tempo do
impulso unitário
Degrau Unitário Re(s) > 0 integral do impulso unitário
Função Constante Re(s) > 0 Convolução
passo único atrasado Re(s) > 0 mudança de tempo do
passo único
rampa Re(s) > 0 integral do impulso
unitário duas vezes
n-ésima potência
( para n inteiro)
Re(s) > 0
(n > −1)
Integral do passo
único n vezes
q-ésima potência
(para q complexo)
Re(s) > 0
Re(q) > −1
[5][6]
n-ésima raiz Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência Re(s) > −α Integral do passo único
aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada
com mudança de frequência
Re(s) > −α Integral do passo único,
aplique a mudança de frequência,
aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial Re(s) > −α Mudança de frequência do
passo único
Decaimento exponencial bilateral −α < Re(s) < α Mudança de frequência do
passo único
Exponencial genérica Re(s) > ln(a) Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial Re(s) > 0 passo único menos
decaimento exponencial
Seno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial
onda senoidal
Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial
onda cossenoidal
Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Logaritmo genérico Re(s) > 0 Adaptação da transformada do logaritmo natural
Função de Bessel
de primeira espécie,
de ordem n
Re(s) > 0
(n > −1)
Williams 1973, p. 89
Função erro Re(s) > 0 Williams 1973, p. 89
decaimento exponencial
onda cossenoidal deslocada (I)
Re(s) > −α [7]
decaimento exponencial
onda cossenoidal deslocada (II)




Re(s) > −α [7]
decaimento exponencial
onda cossenoidal deslocada (III)


Re(s) > −α [7]
Produto de exponencial por seno hiperbólico Re(s) > Max(-a,|b|) Convolução
Produto de exponencial por cosseno hiperbólico Re(s) > Max(-a,|b|) Convolução
Produto de exponencial por logaritmo natural Re(s) > Max(-a,0) Convolução
Produto de monômio por seno Re(s) > 0 Convolução
Produto de monômio por cosseno Re(s) > 0 Convolução
Produto de monômio por seno hiperbólico Re(s) > |a| Convolução
Produto de monômio por cosseno hiperbólico Re(s) > |a| Convolução
Produto de monômio por função erro Re(s) > 0 Convolução
Produto de monômio por logaritmo natural Re(s) > 0 Convolução
Produto de seno por cosseno Re(s) > 0 Convolução
Produto de seno por seno hiperbólico Re(s) > |a| Convolução
Produto de seno por cosseno hiperbólico Re(s) > |a| Convolução
Produto de seno por logaritmo natural Re(s) > 0 Convolução
Produto de cosseno por seno hiperbólico Re(s) > |a| Convolução
Produto de cosseno por cosseno hiperbólico Re(s) > |a| Convolução
Produto de cosseno por função erro Re(s) > 0 Convolução
Produto de cosseno por logaritmo natural Re(s) > 0 Convolução
Produto de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico Re(s) > Max(|a|, |b|) Convolução
Produto de seno hiperbólico por função erro Re(s) > |a| Convolução
Produto de seno hiperbólico por logaritmo natural Re(s) > |a| Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por função erro Re(s) > |a| Convolução
Produto de cosseno hiperbólico por logaritmo natural Re(s) > |a| Convolução
Produto de função erro por logaritmo natural Re(s) > 0 Convolução
Tangente de t Re(s) > 0 Inspeção
Cotangente de t Re(s) > 0 Inspeção
Secante de t Re(s) > 0 Inspeção
Cossecante de t Re(s) > 0 Inspeção
Tangente hiperbólico de t Re(s) > 0 Inspeção
Cotangente hiperbólico de t Re(s) > 0 Inspeção
Secante hiperbólico de t Re(s) > 0 Inspeção
Cossecante hiperbólico de t Re(s) > 0 Inspeção
'a' seno de t Re(s) > 0 Inspeção
'a' cosseno de t Re(s) > 0 Inspeção
'a' tangente de t Re(s) > 0 Inspeção
'a' seno hiperbólico de t Re(s) > 0 Inspeção
Seno de t ao quadrado Re(s) > 0 Inspeção
Cosseno de t ao quadrado Re(s) > 0 Inspeção
Seno hiperbólico de t ao quadrado Re(s) > 0 Inspeção
Cosseno hiperbólico de t ao quadrado Re(s) > 0 Inspeção
Nota explicatória:

Referências

  1. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering, ISBN 978-0-521-86153-3 3rd ed. , Cambridge University Press, p. 455 
  2. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control, ISBN 0-07-017052-5 2nd ed. , Schaum's outlines, p. 78 
  3. Tabela de transformadas de Laplace em Transformadas integrais - Um Livro Colaborativo, mantido pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul
  4. Transformada de Laplace em Transformadas integrais - Um Livro Colaborativo, mantido pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
  5. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  6. - Wolfram Mathword provides case for complex q
  7. a b c P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. Carmichael: Berkeley-Cambridge Press. 372 páginas. ISBN 0-941413-35-7