Operador autoadjunto

operador linear A que é seu próprio adjunto: ⟨ A v , w ⟩ = ⟨ v , A w ⟩

Um operador autoadjunto, hermitiano (português brasileiro) ou hermítico (português europeu) é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.[1]

  • Propriedades
  • Todo autovalor de um operador autoadjunto é real:
  • Se e são autovalores diferentes associados a autovetores e . Então :
Como e são distintos, temos , portanto .

Aplicação do hermitiano na mecânica quânticaEditar

Dizer que duas funções diferentes e são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:
para

Prova da ortogonalidade de funções de ondaEditar

Sejas duas autofunções e correspondentes a dois valores diferentes de energia e respectivamente. Podemos então escrever:
e
e
Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:

Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.


Operador LinearEditar

No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.[1]

Teorema

Considere   uma matriz Hermitiana de ordem  ,   um inteiro com   e   uma submatriz principal de ordem   de   (obtida removendo   linhas e suas colunas correspondentes de  ). Para cada inteiro   tal que  , obtemos  

Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.

Referências

  1. a b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2 
  2. Hermitian Conjugate of an Operator
  3. Weisstein, Eric W. «Operador Hermitian» (em inglês). MathWorld 
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