Conjugado transposto

Em matemática, o conjugado transposto, transposto Hermitiano, ou matriz adjunta de uma matriz m-por-n A com entradas complexas é a matriz n-por-m A^* obtida de A por tomar a transposta e então tomar o conjugado complexo de cada entrada. O conjugado complexo é formalmente definido por

$(A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}$

onde os subscritos denotam a i,j-ésima entrada, para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m, e a sobrebarra denota um conjugado complexo escalar. (O conjugado complexo de $a+bi$, onde a e b são reais, é $a-bi$.)

Esta definição também pode ser escrita como

$A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}$

onde $A^{\mathrm {T} }\,\!$ denota a transposta e ${\overline {A}}\,\!$ denota a matriz com os elementos do conjugado complexo.

Outros nomes do transposto conjugado de uma matriz são conjugado Hermitiano, ou transjugado. O transposto conjugado de uma matriz A pode ser notado por qualquer destes símbolos:

• $A^{*}\,\!$ ou $A^{\mathrm {H} }\,\!$, comumente usado em álgebra linear
• $A^{\dagger }\,\!$, universalmente usado em mecânica quântica
• $A^{+}\,\!$, embora este símbolo seja mais comumente usado para o pseudo-inverso de Moore-Penrose

Em alguns contextos, $A^{*}\,\!$ denota a matriz com elementos conjugados complexos matrix, e deste modo o conjugado transposto é notado por $A^{*T}\,\!$ ou $A^{T*}\,\!$.

Exemplo

Se

$A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}$

então

$A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}.$

Observações básicas

Se os elementos de A são reais, então A^* coincide com a transposta A^T de A.

Uma matriz quadrada A com elementos $a_{ij}$ é chamada

• Hermitiana ou auto-adjunta se A = A^*, i.e., $a_{ij}=a_{ji}^{*}$ ;
• anti-Hermitiana se A = −A^*, i.e., $a_{ij}=-a_{ji}^{*}$ ;
• normal se A^*A = AA^*.

Par se A não é quadrada, as duas matrizes A^*A e AA^* são ambas e de fato matrizes definidas positivas.

A matriz adjunta A^* não deve ser confundida com a matriz adjunta adj(A) (a qual é também algumas vezes chamada apenas "adjunta").

Motivação

O conjugado composto pode ser motivado pela notação que números complexos podem ser representados de modo útil por 2×2 matrizes anti-simétricas, obedecendo adição e multiplicação de matrizes:

$a+ib\equiv {\Big (}{\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}{\Big )}.$

Um matriz m-por-n de números complexos poderia consequentemente ser representada por uma matriz 2m-por-2n de números reais. É, portanto, muito natural que, quando surge essa transposição, uma matriz que seja composta de números complexos, no processo também terá de tomar o conjugado complexo de cada elemento.

Propriedades do conjugado transposto

• (A + B)^* = A^* + B^* para qualquer duas matrizes A e B de mesmas dimensões.
• (rA)^* = r^*A^* para qualquer número complexo r e qualquer matriz A. Aqui r^* refere-se ao conjugado complexo de r.
• (AB)^* = B^*A^* para qualquer matriz m-por-n A e qualquer matriz n-por-p B. Note-se que a ordem dos fatores é invertida.
• (A^*)^* = A para qualquer matriz A.
• Se A é uma matriz quadrada, então o det(A^*) = (det A)^* e o tr(A^*) = (tr A)^*
• A é invertível se e somente se A^* é invertível, e neste caso nós temos (A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^*.
• Os autovalores de A^* são os complexos conjugados dos autovalores de A.
• $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ para qualquer matriz m-por-n A, qualquer vetor x em Cⁿ e qualquer vetor y em C^m. Aqui $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota o padrão complexo produto interno sobre C^m e Cⁿ.

Generalizações

A última propriedade apresentada acima mostra que se se vê A como uma transformação linear do espaço de Hilbert Euclideano Cⁿ a C^m, então a matriz A^* corresponde ao operador adjunto de A. O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode então ser visto como uma generalização do conjugado transposto de matrizes.

Outra generalização é encontrável: supondo-se que A seja um mapa linear de um espaço vetorial complexo V a outro W, então o espaço vetorial conjugado complexo assim como o espaço vetorial transposto são definidos, e nós podemos então tomar o conjugado transposto de A como sendo o complexo conjugado do transposto de A. Ele mapeia o conjugado dual de W ao conjugado dual de V.

Ligações externas

• «Conjugate Transpose - Wolfram MathWorld» (em inglês) 
• «Conjugate Transpose - PlanetMath» (em inglês) 

Ver também

• Operador adjunto