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Função sobrejectiva

função que assume todos os valores do seu contradomínio

Em matemática, uma função de um conjunto para um conjunto é sobrejectiva (ou sobrejetiva ou sobrejetora), se para todo elemento no contradomínio de houver pelo menos um elemento no domínio de tal que Ou seja, quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função. Não é necessário que seja único; a função pode apontar um ou mais elementos de para o mesmo elemento de

Uma função sobrejetiva do domínio para o contradomínio A função é sobrejetiva porque cada ponto no contradomínio é o valor de para pelo menos um ponto no domínio.

O termo sobrejetiva e os termos relacionados injetiva e bijetiva foram introduzidos por Nicolas Bourbaki,[1] um grupo de matemáticos majoritariamente franceses do século XX que, sob esse pseudônimo, escreveram uma série de livros apresentando uma exposição moderna da matemática avançada, iniciada em 1935. A palavra francesa sur significa sobre ou acima e relaciona-se ao fato de que a imagem do domínio de uma função sobrejetiva cobre completamente o contradomínio da função.

Qualquer função induz uma sobrejeção restringindo seu contradomínio ao seu alcance. Toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, e toda função com um inverso à direita é necessariamente uma sobrejeção. O composto de funções sobrejetivas é sempre sobrejetiva. Qualquer função pode ser decomposta em uma sobrejeção e uma injeção.

DefiniçãoEditar

Uma função sobrejetiva é uma função cuja imagem é igual ao seu contradomínio. Equivalentemente, uma função   com domínio   e contradomínio   é comutativa se para todo   em   existir pelo menos um   em   com   Sobrejeções são por vezes denotadas por uma seta para a direita de duas cabeças (U+21A0 rightwards two headed arrow),[2] como em  

Simbolicamente,

Se   então   é dito ser sobrejetiva se

 

ExemplosEditar

  • A função   definida por   não é sobrejectiva, pois existe pelo menos um   que não está na imagem da função, por exemplo, para   uma vez que os números negativos não fazem parte do conjunto imagem. De facto, não existe um   real tal que  
  • A função   definida por   é sobrejectiva, pois qualquer elemento do contradomínio é imagem da função para algum elemento do domínio.
  • A função   definida por   é sobrejectiva, pois todos os números reais são imagem de algum número real.[3]
  • As projeções   e   de um produto cartesiano   nos fatores   e   respectivamente, ambos não vazios. A primeira projeção,   é definida por   enquanto a segunda projeção,   é definida por   [4]

PropriedadesEditar

Uma função é bijetiva se e somente se for ao mesmo tempo sobrejetiva e injetiva.

Se (como é feito frequentemente) uma função é identificada com seu gráfico, então a sobrejetividade não é uma propriedade da função em si, mas sim uma propriedade do mapeamento.[5] Isto é, a função junto com seu contradomínio. Ao contrário da injetividade, a sobrejetividade não pode ser lida do gráfico da função sozinha.

Sobrejeções como funções invertíveis à direitaEditar

A função   é dita como uma inversa à direita da função   se   para todo   em   (  pode ser desfeita por  ). Em outras palavras,   é uma inversa à direita de   se a composição   de   e   nessa ordem for a função de identidade no domínio   de   A função   não precisa ser um inverso completo de   porque a composição na outra ordem,   pode não ser a função de identidade no domínio   de   Em outras palavras,   pode desfazer ou "inverter"   mas não pode necessariamente ser revertida por ela.

Toda função com uma inversa à direita é necessariamente uma sobrejeção. A proposição de que toda função sobrejetiva tem uma inversa à direita é equivalente ao axioma da escolha.

Se   é sobrejetiva e   é um subconjunto de   então   Assim,   pode ser obtido de sua pré-imagem  

Por exemplo, na primeira ilustração, abaixo, há alguma função   tal que   Há também alguma função   tal que   Não importa que   possa também igual a   só importa que   "inverte"  

Sobrejeções como epimorfismosEditar

Uma função   é sobrejetiva se e somente se for cancelável à direita:[6] dadas quaisquer funções   sempre que   então   Esta propriedade é formulada em termos de funções e sua composição e pode ser generalizada à noção mais geral dos morfismos de uma categoria e sua composição. Morfismos canceláveis à direita são chamados de epimorfismos. Especificamente, funções sobrejetivas são precisamente os epimorfismos na categoria dos conjuntos. O prefixo epi é derivado da preposição grega ἐπί significando acima, em.

Qualquer morfismo com uma inversa à direita é um epimorfismo, mas a inversa não é verdadeira em geral. Uma inversa à direita   de um morfismo   é chamada uma seção de   Um morfismo com um inverso à direita é chamado de epimorfismo dividido.

Sobrejeções como relações bináriasEditar

Qualquer função com o domínio   e o contradomínio   pode ser vista como uma relação binária esquerda-total e direita-única entre   e   identificando-a com seu gráfico de funções. Uma função sobrejetiva com o domínio   e o contradomínio   é então uma relação binária entre   e   que é única na direita e tanto na esquerda como na total.

Cardinalidade do domínio de uma sobrejeçãoEditar

A cardinalidade do domínio de uma função sobrejetiva é maior ou igual à cardinalidade de seu contradomínio: Se   é uma função sobrejetiva, então   tem pelo menos tantos elementos quanto   no sentido de números cardinais. (A prova apela ao axioma da escolha para mostrar que existe uma função   satisfazendo   para todo   em     é facilmente vista como sendo injetiva, portanto a definição formal de   é satisfeita.)

Especificamente, se   e   são finitos com o mesmo número de elementos, então   é sobrejetiva se e somente se   for injetiva.

Dados dois conjuntos   e   a notação   é usada para dizer que   está vazio ou que há uma sobrejeção de   em   Usando o axioma da escolha, pode-se mostrar que   e   juntos implicam que   uma variante do teorema de Schröder-Bernstein.

Composição e decomposiçãoEditar

A composta de funções sobrejetivas é sempre sobrejetiva: Se   e   são ambas sobrejetivas, e o contradomínio de   é igual ao domínio de   então   é sobrejetiva. Inversamente, se   é sobrejetiva, então   é sobrejetiva (mas   a função aplicada primeiro, não precisa ser). Essas propriedades generalizam desde as rejeições na categoria de conjuntos até quaisquer epimorfismos em qualquer categoria.

Qualquer função pode ser decomposta em uma injeção e uma injeção: Para qualquer função   existe uma sobrejeção   e uma injeção   tal que   Para entender isso, defina   como sendo o conjunto de pré-imagens   onde   está em   Essas pré-imagens são disjuntas e particionam   Então   carrega cada   para o elemento de   que o contém, e   transporta cada elemento de   para o ponto em   para o qual   envia seus pontos. Então,   é sobrejetiva, pois é um mapa de projeção e   é injetiva por definição.

Sobrejeção induzida e bijeção induzidaEditar

Qualquer função induz uma sobrejeção restringindo seu contradomínio ao seu alcance. Qualquer função sobrejetiva induz uma bijeção definida em um quociente de seu domínio, colapsando todos os mapeamentos de argumentos para uma determinada imagem fixa. Mais precisamente, cada sobrejeção   pode ser fatorada como uma projeção seguida por uma bijeção como segue. Seja   as classes de equivalência de   sob a seguinte relação de equivalência:   se e somente se   Equivalentemente,   é o conjunto de todas as pré-imagens sob   Seja   o mapa de projeção que envia cada   em   para sua classe de equivalência   e seja   a função bem definida dada por   Então  

Provando que as funções são sobrejetivasEditar

Para provar que uma função é sobrejetiva, temos que ter uma função   tal que a imagem   de   é igual ao contradomínio   Suponha um elemento   arbitrário e mostre que existe um elemento   para que  

Exemplo 1Editar

Seja   tal que  

Prova: Suponha   Temos   o que implica   Note que   para todo   em   Portanto, segue da definição que   é sobrejetiva.

Referências

  1. Miller, Jeff, «Injection, Surjection and Bijection», Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics, Tripod .
  2. «Arrows – Unicode» (PDF). Consultado em 11 de maio de 2013 
  3. David A. SANTOS, Linear Algebra Notes, p. 16
  4. LAGES, Elon Lima (2004), Curso de análise, 1 11ª ed. , p. 15 .
  5. T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. [S.l.]: Addison-Wesley. p. 35 
  6. Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic Revised ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado em 25 de novembro de 2009 

Ver tambémEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
  Livros e manuais no Wikilivros

Leitura adicionalEditar