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Domínio (matemática)

conjunto de valores de entrada para os quais a função está definida
Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Domínio de integridade.
Ilustração mostrando , uma função do domínio rosa para o contradomínio azul . O oval amarelo dentro de é a imagem de . Tanto a imagem quanto o contradomínio são algumas vezes chamados de intervalo de .

Na matemática, e mais especificamente na teoria ingênua dos conjuntos, o domínio de definição (ou simplesmente o domínio) de uma função é o conjunto de valores de "entrada" ou argumento para os quais a função é definida. Ou seja, a função fornece uma "saída" ou valor para cada membro do domínio.[1] Por outro lado, o conjunto de valores que a função assume como saída é denominado imagem da função, o que às vezes também é chamado de intervalo da função.

Por exemplo, o domínio do cosseno é o conjunto de todos os números reais, enquanto o domínio da raiz quadrada consiste apenas em números maiores ou iguais a 0 (ignorando números complexos em ambos os casos).

Se o domínio de uma função é um subconjunto dos números reais e a função é representada em um sistema de coordenadas cartesianas, então o domínio é representado no eixo x.

Gráfico da função de raiz quadrada de valor real, , cujo domínio consiste em todos os números reais não-negativos.

Definição formalEditar

Dada uma função  , o conjunto   é o domínio de  ; o conjunto   é o contradomínio de  . Na expressão  ,   é o argumento e   é o valor. Pode-se pensar em um argumento como um membro do domínio que é escolhido como uma "entrada" para a função e o valor como a "saída" quando a função é aplicada a esse membro do domínio.

Se tratando de relações entre conjuntos. Seja   uma relação de  (domínio) em  (contradomínio), então:[2][3]

  e

 

A imagem (às vezes chamada de intervalo) de   é o conjunto de todos os valores assumidos por   para todos os possíveis  ; este é o conjunto  . A imagem de   pode ser o mesmo conjunto que o contradomínio ou pode ser um subconjunto próprio dele. É, em geral, menor que o contradomínio; é o contradomínio inteiro se e somente se   é uma função sobrejetiva.

Uma função bem definida deve mapear todos os elementos de seu domínio para um elemento de seu contradomínio. Por exemplo, a função   definida por

 

não tem valor para  . Assim, o conjunto de todos os números reais,  , não pode ser o seu domínio. Em casos como este, a função é definida em   ou o "espaço é ligado" definindo explicitamente  . Se estendermos a definição de   para

 

então   é definido para todos os números reais, e seu domínio é  .

Qualquer função pode ser restrita a um subconjunto de seu domínio. A restrição de   a  , onde  , é escrita como  .

Domínio naturalEditar

O domínio natural de uma função é o conjunto máximo de valores para os quais a função é definida, normalmente dentro dos reais, mas às vezes entre os números inteiros ou complexos. Por exemplo, o domínio natural da raiz quadrada é o real não negativo quando considerado como uma função numérica real. Ao considerar um domínio natural, o conjunto de valores possíveis da função é tipicamente chamado de intervalo.[4]

Domínio de uma função parcialEditar

Há dois significados distintos no uso matemático atual para a noção do domínio de uma função parcial de   a  , isto é, uma função de um subconjunto   de   a  . A maioria dos matemáticos, incluindo os teóricos de recursão, usam o termo "domínio de   " para o conjunto   de todos os valores   tais que   é definida. Mas alguns, particularmente os teóricos de categoria, consideram o domínio como sendo  , independentemente de existir   para cada   em  .

Teoria das categoriasEditar

Na teoria das categorias, lida-se com morfismos em vez de funções. Os morfismos são flechas de um objeto para outro. O domínio de qualquer morfismo é o objeto a partir do qual uma seta começa. Nesse contexto, muitas ideias teóricas que estabelecem os domínios devem ser abandonadas ou, pelo menos, formuladas de maneira mais abstrata. Por exemplo, a noção de restringir um morfismo a um subconjunto de seu domínio deve ser modificada.

Análise real e complexaEditar

Na análise real e complexa, um domínio é um subconjunto aberto de um espaço vetorial real ou complexo.

Em equações diferenciais parciais, um domínio é um subconjunto aberto do espaço euclidiano  , onde o problema é colocado, isto é, onde a(s) função(ões) desconhecida(s) é(são) definida(s).

Mais exemplosEditar

  • Como uma função parcial dos números reais, a função   é definida para todos  .
  • Se se define a raiz quadrada de um número negativo   como o número complexo  , com parte imaginária positiva, tal que  , a função   é definida para todos os números reais  .
  • A função   é definida para todo  

Referências

  1. Paley, Hiram; Weichsel, Paul M. (1966). A First Course in Abstract Algebra. New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 16 
  2. Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526 
  3. Velleman, Daniel J.,. How to prove it : a structured approach Second edition ed. Cambridge: [s.n.] ISBN 0521861241. OCLC 62084309 
  4. Rosenbaum, Robert A.; Johnson, G. Philip (1984). Calculus: basic concepts and applications. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 60. ISBN 0-521-25012-9