Representação Adjunta (álgebra de Lie)

Disambig grey.svg Nota: Se procura a forma de representar os elementos do grupo como transformações lineares do grupo de álgebra de Lie, veja Representação adjunta (grupo de Lie).

Em matemática, o endomorfismo adjunto (ou ação adjunta} é um homomorfismo das álgebras de Lie que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie[1].

Dado um elemento de uma álgebra de Lie , define-se a ação adjunta de em como o mapa com

para todo em .

Representação adjunta da álgebraEditar

O conceito gera a representação adjunta de um grupo de Lie  . Na verdade,   é precisamente o diferencial de   no elemento identidade do grupo[2].

Seja   uma álgebra de Lie sobre um campo de  . Então o mapa linear

 

dado por   é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de representação adjunta da álgebra[3].

Dentro  , o colchete de Lie é, por definição, dado pelo comutador de dois operadores:

 

onde   denota a composição de mapas lineares. Se   é de dimensão finita, então   é isomorfo a  , a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial   e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao produto de matrizes.

Usando a definição acima do colchete de Lie, a identidade de Jacobi [nota 1]

 

assume a forma

 

onde  ,  , e   são elementos arbitrários de  .

Constantes de estruturaEditar

Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas constantes de estrutura da álgebra[4]. Ou seja, deixe {ei} ser um conjunto de vetores de base para a álgebra, com

 

Então os elementos da matriz para   são dados por

 

Assim, por exemplo, a representação adjunta de SU(2) é o representante de definição de SO(3)[5][6].

Notas e referências

Notas

  1. Em matemática, a identidade de Jacobi (nomeado em homenagem ao matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma propriedade que uma operação binária pode ter que determina como a ordem de avaliação se comporta para a dada operação. Ao contrário de operações associativas, ordem de avaliação é significativa para as operações que satisfazem a identidade de Jacobi.

Referências

  1. "Uma Introdução às Álgebras de Lie e suas Representações" por Eliana Carla Rodrigues & Jhone Caldeira, publicado pela Universidade Federal de Goiás - [1]
  2. Wolfgang Ziller (2010). «Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces» (PDF). University of Pennsylvania 
  3. San Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8
  4. Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations, Cambridge University Press, Cambridge, (1995). ISBN 0-521-55001-7
  5. Lie Groups in Physics (2007 G. 't Hooft, M.J.G. Veltman e B.Q.P.J. de Wit)
  6. Modern Quantum Mechanics (1994 J. J. Sakurai)
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