Subaditividade

Em matemática, a subaditividade é uma propriedade de uma função que afirma, grosso modo, que avaliar a função para a soma de dois elementos do domínio sempre retorna algo menor ou igual à soma dos valores da função em cada elemento. Existem inúmeros exemplos de funções subaditivas em várias áreas da matemática, particularmente normas e raízes quadradas . Mapas aditivos são casos especiais de funções subaditivas.

Definições

Uma função subaditiva é uma função $f\colon A\to B$, com um domínio A e um codomain B ordenado, ambos fechados em adição, com a seguinte propriedade:

$\forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).$

Um exemplo é a função de raiz quadrada, com números reais não negativos como domínio e codomain, pois $\forall x,y\geq 0$ temos:

${\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$

Uma sequência $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$, é chamado subaditivo se satisfizer a desigualdade

$(1)\qquad a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$

para todos m e n . Este é um caso especial de função subaditiva, se uma sequência for interpretada como uma função no conjunto de números naturais.

Propriedades

Sequências

Um resultado útil referente a sequências subaditivas é o seguinte lema devido a Michael Fekete .

Lema Subaditivo de Fekete: Para cada sequência subaditiva ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$, o limite $\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ existe e é igual ao mínimo $\inf {\frac {a_{n}}{n}}$ . (O limite pode ser $-\infty$ . )

O análogo do lema de Fekete também vale para seqüências superaditivas, ou seja: $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ (O limite pode ser infinito positivo: considere a sequência $a_{n}=\log n!$ . )

Existem extensões do lema de Fekete que não exigem que a desigualdade (1) seja válida para todos m e n, mas apenas para m e n de modo que ${\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.$ Além disso, a condição $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ pode ser enfraquecido da seguinte forma: $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ providenciou que $\phi$ é uma função crescente, de modo que a integral $\int \phi (t)t^{-2}\,dt$ converge (próximo ao infinito).

Há também resultados que permitem deduzir a taxa de convergência ao limite cuja existência é afirmado no lema de Fekete se algum tipo de ambos superaditividade e sub aditividade está presente.

Além disso, os análogos do lema de Fekete foram comprovados para mapas reais subaditivos (com suposições adicionais) de subconjuntos finitos de um grupo favorável , e ainda mais, de um semigrupo de esquerda cancelável.

Funções

Teorema: Para cada função subaditiva mensurável $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ o limite $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}$ existe e é igual a $\inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.$ (O limite pode ser $-\infty .$ )

Se f for uma função subaditiva e se 0 estiver em seu domínio, então f (0) ≥ 0. Para ver isso, pegue a desigualdade no topo. $f(x)\geq f(x+y)-f(y)$ . Consequentemente $f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0$

Uma função côncava $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$ com $f(0)\geq 0$ também é subaditivo. Para ver isso, primeiro observa-se que $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ . Então, olhando a soma deste limite para $f(x)$ e $f(y)$, finalmente verificará se f é subaditivo.

O negativo de uma função subaditiva é superaditivo .

Exemplos em vários domínios

Entropia

A entropia desempenha um papel fundamental na teoria da informação e na física estatística, bem como na mecânica quântica em uma formulação generalizada devido a von Neumann . A entropia aparece sempre como uma quantidade subaditiva em todas as suas formulações, o que significa que a entropia de um super-sistema ou de uma união de variáveis aleatórias é sempre menor ou igual à soma das entropias de seus componentes individuais. Além disso, a entropia na física satisfaz várias desigualdades mais estritas, como a Subaditividade Forte da Entropia na mecânica estatística clássica e seu análogo quântico.

Economia

A subaditividade é uma propriedade essencial de algumas funções de custo específicas. É, geralmente, uma condição necessária e suficiente para a verificação de um monopólio natural . Isso implica que a produção de apenas uma empresa é socialmente menos cara (em termos de custos médios) do que a produção de uma fração da quantidade original por um número igual de empresas.

Economias de escala são representadas por funções de custo médio subaditivo.

Exceto no caso de bens complementares, o preço dos bens (em função da quantidade) deve ser subaditivo. Caso contrário, se a soma do custo de dois itens for mais barata que o custo do pacote de dois deles juntos, ninguém jamais comprará o pacote, fazendo com que o preço do pacote "se torne" a soma dos preços de os dois itens separados. Provando assim que não é uma condição suficiente para um monopólio natural; uma vez que a unidade de troca pode não ser o custo real de um item. Essa situação é familiar a todos na arena política, onde alguma minoria afirma que a perda de alguma liberdade específica em um determinado nível de governo significa que muitos governos são melhores; enquanto a maioria afirma que existe outra unidade de custo correta.  

Finança

A subaditividade é uma das propriedades desejáveis de medidas coerentes de risco no gerenciamento de riscos . A intuição econômica por trás da subaditividade da medida de risco é que uma exposição ao risco da carteira deve, na pior das hipóteses, simplesmente igual à soma das exposições ao risco das posições individuais que compõem a carteira. Em qualquer outro caso, os efeitos da diversificação resultariam em uma exposição da carteira menor que a soma das exposições individuais ao risco. A falta de subaditividade é uma das principais críticas dos modelos de VaR que não se baseiam na suposição de normalidade dos fatores de risco. O VaR gaussiano garante subaditividade: por exemplo, o VaR gaussiano de um portfólio de duas posições longas unitárias $V$ no nível de confiança $1-p$ ou seja, assumindo que a variação do valor médio da carteira seja zero e o VaR seja definido como uma perda negativa,

${\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}$

Onde $z_{p}$ é o inverso da função de distribuição cumulativa normal no nível de probabilidade $p$, $\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}$ são as posições individuais retorna variações e $\rho _{xy}$ é a medida de correlação linear entre os retornos de duas posições individuais. Como a variação é sempre positiva,

${\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}$

Assim, o VaR gaussiano é subaditivo para qualquer valor de $\rho _{xy}\in [-1,1]$ e, em particular, é igual à soma das exposições individuais ao risco quando $\rho _{xy}=1$ que é o caso de nenhum efeito de diversificação no risco da carteira.

Termodinâmica

A subaditividade ocorre nas propriedades termodinâmicas de soluções e misturas não ideais, como o volume molar em excesso e o calor da misura ou entalpia em excesso.

Combinatória em palavras

Uma linguagem fatorial $L$ é aquele em que se houver uma palavra $L$, todos os fatores dessa palavra também estão em $L$ . Na combinatória de palavras, um problema comum é determinar o número $A(n)$ de comprimento $n$ palavras em uma linguagem fatorial. Claramente $A(m+n)\leq A(m)A(n)$, tão $\log A(n)$ é subaditivo e, portanto, o lema de Fekete pode ser usado para estimar o crescimento de $A(n)$