Abrir menu principal

Este artigo contém uma lista de técnicas para a diferenciação de funções reais, categorizadas por tipo.

Índice

Funções polinomiais simplesEditar

Dado um polinômio  , que é definido pela fórmula:

 , tem-se
 

Que é, simples multiplicação de cada termo por seu grau, então dividir-se por ’’ ’’. Por exemplo, pode-se diferenciar  . Primeiramente, divide-se em seus termos componentes:   e  .   é igual a  , significando que sua derivada é  , ou metade do recíproco do valor.   simplesmente torna-se 5, dando-nos:

 

Funções exponenciaisEditar

Dada uma função “f(x)” igual a bx, sua derivada pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

 

onde “ln b” é o logaritmo natural de b. Usando-se esta fórmula, nós podemos diferenciar 225x por multiplicar por ln 225 = ln 15² = 2 ln 15 = 2(ln 3 + ln 5). (Ver Logaritmo natural). Assim, finalmente, temos 225x 2 ln 3 + 225x 2 ln 5.

DemonstraçãoEditar

 
  Uma propriedade dos logaritmos.
  Outra propriedade dos logaritmos
  Da regra da cadeia.
 
 

Funções logarítmicasEditar

Todas as funções logarítmicas podem ser diferenciadas via uma fórmula muito similar aquela para funções exponenciais. A inclinação de qualquer função logarítmica em um ponto x é igual ao inverso de x vezes o logaritmo natural da base, ou:

 

Através disto podemos diferenciar o próprio logaritmo natural. Naturalmente, a base do logaritmo natural é e, e o logaritmo de base x de x é sempre um. Portanto, o logaritmo natural de e é um. Sabendo disso, podemos achar que o declive do logaritmo natural em qualquer ponto é igual ao inverso da altura naquele ponto.

DemonstraçãoEditar

Tendo-se

 .

Então

 .
 
 

Usando-se diferenciação implícita.

 
 
 

Desde que   e  ,  .

Funções trigonométricas simplesEditar

|}

Para uma extensa lista de derivadas de funções trigonométricas, funções hiperbólicas, suas inversas, e demonstrações, ver tabela de derivadas e diferenciação de funções trigonométricas.

Ver tambémEditar