Em matemática , o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange ) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a ,b ] e diferenciável em (a ,b ), existe algum ponto c em (a ,b ) tal que
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
⋅
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot }
O teorema do valor médio[ 1] Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b .
O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é
v
{\displaystyle v}
a ,b ]), há um instante (ponto c ) em que a velocidade instantânea também é
v
{\displaystyle v}
Demonstração
editar
Seja
g
:
[
a
,
b
]
→
R
x
↦
f
(
x
)
−
f
(
a
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&f(x)-f(a)-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).\end{alignedat}}}
Então
g
{\displaystyle g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
g
(
a
)
=
g
(
b
)
=
0
{\displaystyle g(a)=g(b)=0}
teorema de Rolle , existe algum
c
{\displaystyle c}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
g
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle g'(c)=0}
g
′
(
c
)
=
0
⟺
f
′
(
c
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
0
⟺
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
⋅
{\displaystyle {\begin{aligned}g'(c)=0&\Longleftrightarrow f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\\&\Longleftrightarrow f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot \end{aligned}}}
Funções com Valores Vetoriais
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Se
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
R
n
{\displaystyle ^{n}}
derivável em
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
c
{\displaystyle c}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
⋅
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot }
Considere-se, por exemplo, a função
f
{\displaystyle f}
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
R
2
{\displaystyle ^{2}}
f
(
x
)
=
(
cos
(
x
)
,
sen
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=(\cos(x),\operatorname {sen} (x))}
Então
f
(
2
π
)
−
f
(
0
)
2
π
−
0
=
(
0
,
0
)
,
{\displaystyle {\frac {f(2\pi )-f(0)}{2\pi -0}}=(0,0),}
mas
(
∀
x
∈
(
0
,
2
π
)
)
:
f
′
(
x
)
=
(
−
sen
(
x
)
,
cos
(
x
)
)
≠
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (\forall x\in (0,2\pi )):f'(x)=(-\operatorname {sen} (x),\cos(x))\neq (0,0).}
No entanto, é verdade que existe sempre algum
c
{\displaystyle c}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
‖
f
(
b
)
−
f
(
a
)
‖
b
−
a
⩽
‖
f
′
(
c
)
‖
.
{\displaystyle {\frac {\|f(b)-f(a)\|}{b-a}}\leqslant \|f'(c)\|.}
Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja
v
{\displaystyle v}
R
n
{\displaystyle ^{n}}
⟨
v
,
f
(
b
)
−
f
(
a
)
⟩
=
‖
f
(
b
)
−
f
(
a
)
‖
{\displaystyle \langle v,f(b)-f(a)\rangle =\|f(b)-f(a)\|}
e seja
g
:
[
a
,
b
]
→
R
x
↦
⟨
v
,
f
(
x
)
−
f
(
a
)
⟩
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&\langle v,f(x)-f(a)\rangle .\end{alignedat}}}
Então
g
{\displaystyle g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
c
{\displaystyle c}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
g
′
(
c
)
=
g
(
b
)
−
g
(
a
)
b
−
a
⟺
⟨
v
,
f
′
(
c
)
⟩
=
⟨
v
,
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
⟩
=
‖
f
(
b
)
−
f
(
a
)
‖
b
−
a
,
{\displaystyle g'(c)={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\Longleftrightarrow \langle v,f'(c)\rangle =\left\langle v,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right\rangle ={\frac {\|f(b)-f(a)\|}{b-a}},}
pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz ,
‖
f
(
b
)
−
f
(
a
)
‖
b
−
a
=
|
⟨
v
,
f
′
(
c
)
⟩
|
⩽
‖
v
‖
.
‖
f
′
(
c
)
‖
=
‖
f
′
(
c
)
‖
.
{\displaystyle {\frac {\|f(b)-f(a)\|}{b-a}}={\bigl |}\langle v,f'(c)\rangle {\bigr |}\leqslant \|v\|.\|f'(c)\|=\|f'(c)\|.}
Generalização: Teorema de Cauchy
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Significado geométrico do teorema de Cauchy. Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy , que afirma que se f e g são funções contínuas de [a ,b ] em R que são deriváveis em (a ,b ), então existe algum c ∈ (a ,b ) tal que
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
g
′
(
c
)
=
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
f
′
(
c
)
.
{\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}
É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g (x ) = x , isto significa
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
(
b
−
a
)
f
′
(
c
)
⇔
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
f
′
(
c
)
.
{\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\Leftrightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).}
O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a ,b ] em R definida por
h
(
x
)
=
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
(
g
(
x
)
)
−
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
(
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle h(x)=(f(b)-f(a))(g(x))-(g(b)-g(a))(f(x)).}
Então h é contínua, é derivável em (a ,b ) e h (a ) = h (b ), pelo que existe algum c ∈ (a ,b ) tal que
h
′
(
c
)
=
0
⇔
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
g
′
(
c
)
−
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
f
′
(
c
)
=
0
⇔
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
g
′
(
c
)
=
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
f
′
(
c
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(c)=0&\Leftrightarrow (f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\\&\Leftrightarrow (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).\end{aligned}}}
Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f (a ) = f (b ) e g (a ) = g (b ). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva
[
a
,
b
]
→
R
2
x
↦
(
f
(
x
)
,
g
(
x
)
)
,
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} ^{2}\\x&&\;\mapsto \;&{\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\end{alignedat}}}
então o declive de recta definida por (f (a ),g (a )) e por (f (b ),g (b )) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&f(x)-f(a)-{\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb86583e16342af4d35173feef0a12b8477355c)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}g\colon &&[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} \\&&x&&\;\mapsto \;&\langle v,f(x)-f(a)\rangle .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d80255e530955d8069a3a6dc0bd21a82648ced)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}[a,b]&&\;\rightarrow \;&\mathbb {R} ^{2}\\x&&\;\mapsto \;&{\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723fb410a8fddf87ef2b3191c65fcda848b8e82c)
