Teorema do valor médio

Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que, dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que

O teorema do valor médio[1]

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.

O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é , então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é .

DemonstraçãoEditar

Seja

 


Então   também é contínua em   e derivável em  . Além disso,  . Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum   ∈   tal que  . Mas

 

Funções com Valores VetoriaisEditar

Se   for uma função contínua de   em R  que seja derivável em  , então já não é verdade que existe necessariamente algum   ∈   tal que

 

Considere-se, por exemplo, a função   de   em R  definida por

 .

Então

 

mas

 

No entanto, é verdade que existe sempre algum   ∈   tal que

 

Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja   ∈ R  um vector de norma 1 tal que

 

e seja

 

Então   é contínua em   e derivável em  , pelo que existe algum   ∈   tal que

 

pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

 

Generalização: Teorema de CauchyEditar

 
Significado geométrico do teorema de Cauchy.

Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ∈ (a,b) tal que

 

É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa

 

O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por

 

Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ∈ (a,b) tal que

 

Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva

 

então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.

Ver tambémEditar

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016