Função afim

 Nota: Não confundir com Função linear, nem com Transformação linear.

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo $f(x)=ax+b,$ cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo $Ox.$ Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear ($Ax$) seguida por uma translação ($+b$).

Esquema explicativo de uma função afim.

Exemplo de uma função afim.

$x\mapsto Ax+b$

no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:

1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos $p_{1},p_{2},p_{3}$, $||p_{2}-p_{1}||/||p_{3}-p_{2}||$

Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.

Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

 Definição formal

Uma função $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ chama-se função afim quando existe dois números reais $a$ e $b$ tal que $f(x)=ax+b$ e $a\neq 0,$ para todo $x\in \mathbb {R} .$

Coeficientes

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a tangente do ângulo da inclinação da reta que representa a função, no sentido anti-horário em relação do eixo das abcissas.

O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

Esboço do gráfico da função f(x)=2x, um exemplo de função linear

Função linear

Ver artigo principal: Função linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde $a\neq 0$ e $b=0,$ sendo, portanto, expressa como:

$f(x)=ax.$

Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear.

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde $a=1.$ Logo a função identidade é expressa como:

$f(x)=x.$

Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.

Função linear e proporcionalidade

Ver artigo principal: Proporcionalidade

Esboço do gráfico da função f(x)=x, a função identidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.

Assim, seja a função linear $f(x)=ax,$ vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo $(x,ax),$ onde $a$ é a razão entre $y$ e $x.$

Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento ou decrescimento

Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.

Crescente

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, $a>0.$

Esboço do gráfico da função f(x)=2x+1, um exemplo de função afim crescente

Demonstração:

Por definição, dizemos que uma função $f:A\rightarrow {B}$ definida por $y=f(x)$ é crescente no conjunto $A_{1}\subset {A}$ se, para dois valores quaisquer $x_{1}$ e $x_{2}$ pertencentes a $A_{1},$ com $x_{1}<x_{2},$ tivermos $f(x_{1})<f(x_{2}).$

Sintetizando: $f$ é crescente quanto:

$(\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})<f(x_{2})})$

Podemos reescrever isso como:

$(\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0)$

Então, dada a função afim $f(x)=ax+b,$ dizemos que $f(x)$ é crescente se, e somente se:

${\frac {(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}>0,\forall {x_{1}}<{x_{2}}$

Assim, podemos reescrever:

${\frac {a(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0\Leftrightarrow {a>0}.$

Decrescente

Esboço do gráfico da função afim f(x)=-2x+1, um exemplo de função afim decrescente.

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, $a<0.$

Demonstração:

De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição:

$(\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})>f(x_{2})})$

Que é equivalente a dizer:

$(\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0)$

Então, dada a função afim $f(x)=ax+b,$ dizemos que $f(x)$ é decrescente quando:

${\frac {(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}<0,\forall {x_{1}}<{x_{2}}$

Reescrevendo isso, temos:

${\frac {a(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0\Leftrightarrow {a<0}.$

Constante

Ver artigo principal: Função constante

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja $a=0.$ Nesse caso a equação que define a função é dada por $f(x)=b$ e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo $Ox$.

Esboço do gráfico da função f(x)=2, um exemplo de função constante

Zero

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de $x$ para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.

Para definir este ponto basta resolver a equação $ax+b=0:$

Pontos de corte com os eixos em uma função afim

$ax+b=0\Rightarrow {x=-{\frac {b}{a}}}.$

Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é $\left(-{\frac {b}{a}},0\right).$

Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo $oy$). Para definir este ponto de corte basta calcular $f(0):$

$f(0)=a.0+b=b.$

Logo o ponto de corte no eixo y é $(0,b).$

Aplicações

As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.

 Relação com a progressão aritmética

Ver artigo principal: Progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante.

Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim.

Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é: $a_{n}=a_{1}+(n-1).r.$

Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como:

$a(n)=a_{1}+(n-1).r$

Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:

$a(n)=r.n+(a_{1}-r),$

Esboço do gráfico da função $a(n)=3n-2,n\in \mathbb {N^{*}}$

onde:

$a(n)$ é a variável dependente; $n$ é a variável independente; $r$ é o coeficiente angular; $(a_{1}-r)$ é o coeficiente linear.

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais não nulos e a imagem é o conjunto dos números inteiros.

Exemplo:

Seja a progressão aritmética infinita $(1,4,7,10,13,16,19,...),$ vamos verificar se seus termos são definidos pela fórmula $a(n)=r.n+(a_{1}-r).$

Temos que $r=3$ e $a_{1}=1.$

Logo, a lei da função $a(n)$ é:

$a(n)=3.n+(1-3)\rightarrow {a(n)=3n-2}$

Observe ao lado o gráfico da função $a(n).$   

 Relação com o movimento retilíneo uniforme

Ver artigo principal: Movimento retilíneo uniforme

Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo.

A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo:

$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$,

onde:

$s_{f}$ é a distância final; $s_{i}$ é a distância inicial; $t_{f}$ a distância final e $s_{i}$ a distância inicial.

Podemos simplificar a expressão, pois na maioria dos casos temos como ponto de partida um tempo inicial nulo, $t_{i}=0.$

Logo é possível modificar a expressão utilizando algebrismos para encontrar uma função afim de posição em função do tempo.

$v={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-0}}\longrightarrow {v.{t_{f}}}=s_{f}-s_{i}.$

Podemos reescrever de modo a obter $s_{f}:$

$s_{f}=v.{t_{f}}+s_{i}$

Por fim basta renomear os termos para melhorar a lei da função. Assim dissemos que $s_{f}=s(t),$ $t_{f}=t$ e $s_{i}=s.$

Logo a lei da função posição é:

$s(t)=v.t+s$,

onde:

• $s(t)$ é a posição após o tempo $t;$        
• $v$ é a velocidade e o coeficiente angular da função;        
• $t$ é o tempo que dura o deslocamento;        
• $s$ é a posição inicial e também o coeficiente linear da função.      

Veja também

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Mapeamento contrativo

Bibliografia

• Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.