Espaços linha e coluna

Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação para nos referirmos ao posto da matriz . [1][2][3]

Definição

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Seja   uma matriz real  .

Espaço linha

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O espaço linha de   é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores  , onde:

 .

A dimensão do espaço linha de   é chamada de posto linha da matriz.[1][2][3]

Espaço coluna

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O espaço coluna de   é o espaço vetorial   gerado pelo conjunto de vetores  , onde:

 .

A dimensão do espaço coluna de   é chamada de posto coluna da matriz.[1][2][3]

Propriedades do espaço linha

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O espaço linha de uma matriz possui as seguintes propriedades:[1]

  1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.
  2. Se   e   são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Demonstração

1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.

Seja   uma matriz real  . Então, os vetores linhas de   formam um subconjunto do espaço euclidiano  -dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo  .

2. Se   e   são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Com efeito, se   e   são matrizes equivalentes por linha, então as linhas de   são combinações lineares das linhas de   e vice-versa. Portanto, o espaço vetorial gerado pelas linhas de   é igual ao espaço vetorial gerado pelas linhas de  , como queríamos demonstrar.

Propriedades do espaço coluna

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O espaço coluna de uma matriz possui as seguintes propriedades:[1]

  1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.
  2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.
  3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Demonstração

1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.

Seja   uma matriz real  . Então, os vetores coluna de   formam um subconjunto do espaço euclidiano  -dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo  .

2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.

Seja   uma transformação linear do espaço euclidiano   de dimensão   no espaço euclidiano   de dimenão  . Seja, também,   uma matriz que representa  , i.e.:

 .

Daí, vemos que   pertence à imagem de   se, e somente se, existe   tal que  . Ou seja,   é uma combinação linear dos vetores coluna de  , como queríamos demonstrar.

3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Segue, imediatamente, da propriedade 2.

Relação entre os espaços linha e coluna

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Os espaços linha e coluna de uma matriz possuem as seguintes relações:[1]

  1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.
  2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Observamos que a propriedade 2. justifica denotar o posto coluna e o posto linha de uma matriz   por   ou  , sem referência a linha ou coluna.

Demonstração

1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.

Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado.

2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Por definição, o posto linha de uma matriz é a dimensão do seu espaço linha. Sejam   uma matriz e   a matriz escalonada reduzida por linha de  . Então, o número de vetores coluna de   que são linearmente independentes é igual ao número de uns principais da matriz  . Mas, este é também o número de vetores linha de   que são linearmente independentes. Como   e   são matriz equivalentes por linha, temos que elas têm o mesmo posto linha. Concluímos, então, que o ponto coluna de   é igual ao seu posto linha.

Sejam   os vetores coluna de uma matriz    .

Relação fundamental

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Se   é uma matriz  , então  . Aqui,   denota o posto de  , enquanto   denota sua nulidade.[1]

Demonstração

A nulidade de   é a dimensão do espaço nulo de  , i.e., a dimensão do espaço gerado pelas soluções de  . Seja   a matriz escalonada reduzida de  . O posto de   é igual ao número de linhas não nulas de  , enquanto que a nulidade   é igual a   menos o número de linhas não nulas de  . Ou seja,  .

Posto e singularidade

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Os seguintes resultados relacionam o conceito de singularidade com o posto de uma matriz quadrada:[1]

  1. Uma matriz quadrada     é não singular se, e somente se,  .
  2. O determinante de uma matriz     é não nulo se, e somente se,  .
  3. Um sistema linear quadrado   de ordem   tem uma única solução se, e somente se,  .
  4. Um conjunto de vetores coluna   de um espaço euclidiano  -dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada   tem determinante não nulo.

Demonstração

1. Uma matriz quadrada     é não singular se, e somente se,  .

Com efeito,   é não singular se, e somente se, a nulidade de   for igual a zero. O resultado segue, então da relação fundamental demonstrada acima.

2. O determinante de uma matriz     é não nulo se, e somente se,  .

Isto segue do resultados 1. demonstrado acima, uma vez que o determinante de uma matriz     é não nulo se, e somente se,   é não singular.

3. Um sistema linear quadrado   de ordem   tem uma única solução se, e somente se,  .

Com efeito, um sistema linear quadrado   de ordem   tem uma única solução se, e somente se,   é não singular. Portanto, este resultado segue do demonstrado no item 1. desta seção.

4. Um conjunto de vetores coluna   de um espaço euclidiano  -dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada   tem determinante não nulo.

Com efeito, uma matriz   é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes.


Referências

  1. a b c d e f g h Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  2. a b c Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
  3. a b c Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093