Matriz definida positiva

Em álgebra linear, uma matriz "M" é definida positiva se o escalar resultante da multiplicação $a^{T}Ma$ for positivo, sendo que:

• "M" é uma matriz real e simétrica de dimensões n X n
• $a$ é qualquer vetor de dimensão nX1, não nulo, que contém apenas números reais
• $a^{T}$ o transposto do vetor $a$ , portanto tem dimensões 1Xn

Em termos mais gerais, uma matriz hermitiana "M" é definida positiva se o escalar resultante da multiplicação $a^{*}Ma$ for real e positivo, sendo que:

• "M" é uma matriz real e simétrica de dimensões n X n
• $a$ é qualquer vetor de dimensão nX1, não nulo, que contém apenas números complexos
• $a^{*}$ é o conjugado transposto do vetor $a$ , portanto tem dimensões 1Xn

Exemplos

• A matriz identidade $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$é definida positiva, pois $a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=a_{11}^{2}+a_{21}^{2}$, que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
• A matriz real e simétrica $Z={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$é positiva definida, pois

$a^{T}Za={\begin{bmatrix}{\color {Blue}a_{11}}&{\color {YellowOrange}a_{21}}&{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}2}&-1&0\\{\color {Magenta}-1}&2&-1\\{\color {Cyan}0}&-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}=$

${\begin{bmatrix}{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}&-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}&0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}=$

$a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=$

$a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=$

$\left[2a_{11}^{2}-1a_{21}a_{11}\right]+\left[-1a_{11}a_{21}+2a_{21}^{2}-1a_{31}a_{21}\right]+\left[-1a_{21}a_{31}+2a_{31}^{2}\right]$

Reorganizando os elementos da soma acima, temos:

$a_{21}^{2}+\left\{a_{11}^{2}-2a_{21}a_{11}+a_{21}^{2}\right\}+\left\{a_{21}^{2}-2a_{21}a_{31}+a_{31}^{2}\right\}+a_{31}^{2}=$

$a_{21}^{2}+\left\{a_{11}-a_{21}\right\}^{2}+\left\{a_{21}-a_{31}\right\}^{2}+a_{31}^{2}$, que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Definições equivalentes

Seja M uma matriz hermitiana quadrada n × n. De agora em diante notaremos a transposta de uma matriz ou vetor $a$ como $a^{T}$, e o conjugado transposto, $a^{*}$. Esta matriz M se diz definida positiva é obtida com uma (e portanto, as demais) das seguintes formulações equivalentes:

1.	Para todos os vetores não nulos $z\in \mathbb {C} ^{n}$ temos que ${\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0$. Note-se que $z^{*}Mz$ é sempre real. O produto anterior, recebe o nome de Produto Quântico.
2.	Todos os autovalores $\lambda _{i}$ de $M$ são positivos. (Recordamos que os autovalores de uma matriz hermitiana ou em sua falta, simétrica, são reais.)
3.	A função $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$ define um produto interno $\mathbb {C} ^{n}$.
4.	Todos os determinantes dos menores principais de $M$ são positivos. Ou o que é equivalente; todas as seguintes matrizes tem determinantes positivos. a superior esquerda de M de dimensão 1x1 a superior esquerda de M de dimensão 2x2 a superior esquerda de M de dimensão 3x3 ... a superior esquerda de M de dimensão (n-1)x(n-1) $M$ em si mesma
	Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais tem que ser não negativos (Critério de Sylvester).

Referências

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990), Matrix Analysis, ISBN 978-0-521-38632-6, Cambridge University Press .
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.