Teoria das distribuições

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O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida na metade do século XX por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.

MotivaçãoEditar

A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.

DefiniçõesEditar

Definição de distribuiçõesEditar

Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.

NotaçãoEditar

De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número

 

Na última equação   é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste  . Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre  .

ExemplosEditar

  • Seja   e  , tal que para toda função teste   a expressão   seja uma distribuição no espaço  .
  • Seja   e  . Então para todo   a derivada parcial   é também um distribuição em  .
  • o valor principal de Cauchy da função   pode ser interpretado como a distribuição  
 .

Funções testeEditar

Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja

 

o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

Funções teste para distribuições geraisEditar

Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por  , é necessário um critério de convergência. Uma seqüência   com   converge ao valor  , quando existe um conjunto compacto   com   para todo   e

 

para todo multi-índice  . O espaço   juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por  .

Funções teste para distribuições com suporte compactoEditar

Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves  . Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por  . A família de semi-normas é expressa por

 

Esta norma induz uma topologia convexa local

BibliografiaEditar

  • Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
  • Michael James Lighthill: An introduction to Fourier analysis and generalised functions, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
  • Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen, Lecture Notes in Mathematics 82, Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.