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Integral de Lebesgue

A integral de uma função positiva pode ser interpretada como a área sob a curva de um gráfico.

A integral de Lebesgue é, na matemática, uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções , a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.[1][2][3]

ConstruçãoEditar

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então,   um espaço de medida.

Funções simplesEditar

Seja   uma função simples:

 

Diz-se que   é Lebesgue integrável em   se:

  ficando bem convencionado que  

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de   como:

 

Funções positivasEditar

Seja   uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de   em   como:

 , onde   é uma função simples.

A função   é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

  • Quando   é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
  • A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

Funções reaisEditar

Seja   uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

 
 

É fácil ver que se   é mensurável, então ambas   e   são mensuráveis não negativas e que  .

A função   é dita Lebesgue integrável em   se ambas as integrais   e   forem finitas e sua integral é definida como:

 
  • Observe que   é integrável se e somente se   é integrável.

PropriedadesEditar

Se   e   são funções integráveis em um conjunto mensurável  , então:

  •  
  •   quase sempre, então  
  •  
  •   mensurável,   é integrável em   e, ainda:
 
  • Se   são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e   então:
 
  •   define uma medida nos subconjuntos mensuráveis de  .

Comparação com a integral de RiemannEditar

  • Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.
  • O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Lacruz, Miguel (7 de janeiro de 2011). «La integral de Lebesgue». Café Matemático (em espanhol). Consultado em 14 de março de 2019 
  2. «Lebesgue integral - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 14 de março de 2019 
  3. Bogdanowicz, Witold M. (1965-03). «A GENERALIZATION OF THE LEBESGUE-BOCHNER-STIELTJES INTEGRAL AND A NEW APPROACH TO THE THEORY OF INTEGRATION*». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 53 (3): 492–498. ISSN 0027-8424. PMID 16591263  Verifique data em: |data= (ajuda)
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