Método de Laplace

Em matemática, o método de Laplace é uma técnica originalmente desenvolvida por Pierre-Simon Laplace (1774, p. 366-367) para aproximar integrais da forma

$\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx$

onde $f(x)$ é uma função duplamente diferenciável, M é um grande número, e os pontos finais da integral a e b podem estar no infinito.

A ideia do método de Laplace

A função $e^{Mf(x)},$ em azul, é mostrado no topo para $M=0.5,$ e em baixo para $M=3.$ Aqui, $f(x)=\sin x/x,$ com um máximo global em $x_{0}=0.$ Isto é visto que como $M$ cresce de maneira mais acentuada, a aproximação desta função por uma função Gaussiana (mostrada em vermelho) é melhor obtida. Esta observação é subjacente ao método de Laplace.

Assumindo que a função f(x) tem um único máximo global em x₀. Então, o valor f(x₀) irá ser maior que outros valores f(x). Se nós multiplicarmos esta função por um grande número M, o lapso entre Mf(x₀) e Mf(x) só irá aumentar, e então ele irá crescer exponencialmente para a função

$e^{Mf(x)}.$

Como tal, contribuições significativas para a integral dessa função só virá a partir de pontos x em um vizinhança de x₀, a qual pode então ser estimada.

Teoria geral do método de Laplace

Para estabelecer e provar o método, são necessários alguns pressupostos. Assume-se que x₀ não é um ponto final do intervalo de integração, que o valor f(x) pode não ser muito próximo a f(x₀) exceto se x é próximo a x₀, e que $f'''(x_{0})<0$.

Pode-se expandir f(x) em torno de x₀ pelo teorema de Taylor,

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R.$

onde $R=O\left((x-x_{0})^{3}\right).$

Desde que f tem um máximo global em x₀, e já que x₀ não é um ponto final, ele é um ponto estacionário, então f'(x₀)=0 nesse ponto. Com essa simplificação, a função f(x) pode ser aproximada a ordem quadrática por

$f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}$

para x próximo a x₀ (lembrando que a segunda derivada é negativa no máximo global f(x₀)). As suposições feitas garantem a precisão da aproximação

$\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx e^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}dx$

(ver a imagem à direita). Esta última integral é uma integral de Gauss se os limites de integração vão de −∞ a +∞ (os quais podem ser assumidos então porque a exponencial decai muito rápido longe de x₀), e então ela pode ser calculada. Encontra-se

$\int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}e^{Mf(x_{0})}{\mbox{ quando }}M\to \infty .$

Uma generalização deste método e sua extensão a precisão arbitrária é apresentado por Fog (2008).

Extensão do Método de Laplace: Descida mais íngreme

Em extensões do método de Laplace, análise complexa, e em particular a fórmula integral de Cauchy, é usada para encontrar um contorno de descida mais íngreme para uma integral equivalente (assintoticamente com M grande), expressa como uma integral de linha. Em particular, se nenhum ponto x₀ onde a derivada de f desaparece existe sobre a linha real, isto pode ser necessário para deformar o contorno de integração para um ótimo, onde a análise acima será possível. Mais uma vez a idéia principal é reduzir, pelo menos assintoticamente, o cálculo da integral dada aquele de uma integral mais simples que possa ser explicitamente avaliada. Ver o livro de Erdelyi (1956) para uma discussão simples (onde o método é denominado descidas mais íngremes).

Generalizações posteriores

Uma extensão do método da descida mais íngreme é a assim chamada método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. Aqui, ao invés de integrais, é necessário avaliar as soluções assintótcas dos problemas da fatoração de Riemann-Hilbert.

Dado um contorno C na esfera complexa, uma função f definida sobre este contorno e o especial, dito infinito, busca-se uma função M holomórfica distante do contorno C, com lapso previsto em C, e com uma dada normalização no infinito. Se f e portanto M são matrizes ao invés de escalares este é um problema que em geral não admite uma solução explícita.

Uma avaliação assintótica é então possível ao longo das linhas do método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. A ideia é reduzir assintoticamente a solução do problema de Riemann-Hilbert dado aquele de um problema de Riemann-Hilbert mais simples, explicitamente resolvível. O teorema de Cauchy é usado para ajustar deformações do contorno de lapso.

A fase estacionária não linear foi introduzida por Deift e Zhou em 1993, com base em trabalhos anteriores seus. O método da descida mais íngreme não linear (propriamente falando) foi introduzido por Kamvissis, K. McLaughlin e P. Miller em 2003, baseado em trabalhos prévios de Lax, Levermore, Deift, Venakides e Zhou.

O método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear tem aplicações para a teoria de equações sóliton e modelos integráveis, matrizes aleatórias e combinatória.

Integrais complexas

Para integrais complexas na forma:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s)e^{st}\,ds$

com t >> 1, nós fazemos a substituição t = iu e a mudança de variável s = c + ix para obter a transformação bilateral de Laplace:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }g(c+ix)e^{-ux}e^{icu}\,dx.$

Então dividimos g(c+ix) em sua partes reais e complexas, após o que recuperamos u = t / i. Isto é útil para tranformadas inversas de Laplace, a fórmula de Perron e integração complexa.

Exemplo 1: aproximação de Stirling

O método de Laplace pode ser usado para derivar a aproximação de Stirling

$N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}$

para um N inteiro grande.

Da definição da função gama, nós temos

$N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{N}dx.$

Agora, mudamos variáveis, obtendo

$x=Nz$

tal que

$dx=Ndz.$

Coloca-se estes valores novamente para obter

$N!$	$=\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}Ndz$
	$=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}z^{N}dz$
	$=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}e^{N\ln z}dz$
	$=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{N(\ln z-z)}dz.$

Esta integral tem a forma necessária para o método de Laplace com

$f\left(z\right)=\ln {z}-z$

a qual é duplamente diferenciável:

$f'(z)={\frac {1}{z}}-1\,,$

$f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.$

O máximo de f(z) situa-se em z₀=1, e a segunda derivada de f(z) tem neste ponto o valor -1. Então, obtemos

$N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}e^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}.$

Exemplo 2: estimativa de parâmetros e inferência probabilística

Azevedo-Filho and Shachter (1994) sumarizam resultados (univariados e multivariados) relacionados ao método de Laplace e apresentam um exemplo detalhado de sua aplicação a um problema envolvendo estimativa de parâmetros e inferência probabilística, sob uma ótica bayesiana. O método de Laplace é utilizado em um problema de meta-análise do domínio da medicina, envolvendo dados de experimentos, e comparado com outras técnicas. (artigo)

Ver também

• Método da fase estacionária

Referências

• Azevedo Filho, A.; Shachter, R. (1994), «Laplace's Method Approximations for Probabilistic Inference in Belief Networks with Continuous Variables», in: Mantaras, R.; Poole, D., Uncertainty in Artificial Intelligence, San Francisco, CA: Morgan Kauffman .
• Deift, P.; Zhou, X. (1993), "A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation", Ann. of Math. 137 (2): 295–368, doi: 10.2307/2946540
• Erdelyi, A. (1956), Asymptotic Expansions, Dover.
• Fog, A. (2008), "Calculation Methods for Wallenius' Noncentral Hypergeometric Distribution", Communications in Statistics, Simulation and Computation 37 (2): 258–273, doi:10.1080/03610910701790269
• Kamvissis, S.; McLaughlin, K. T.-R.; Miller, P. (2003), "Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation", Annals of Mathematics Studies (Princeton University Press) 154. (no Google Books)
• Laplace, P. S. (1774). Memoir on the probability of causes of events. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième. (English translation by S. M. Stigler 1986. Statist. Sci., 1(19):364-378).