Na matemática aplicada, em particular no contexto de análise de sistemas não lineares, um plano de fase é uma exibição visual de certas características de alguns tipos de equações diferenciais; um plano de coordenadas com eixos sendo os valores das duas variáveis de estado, digamos que ou . Sejam esses quaisquer pares de variáveis. Este é um caso bidimensional do espaço de fase geral n-dimensional

O método do plano de fase refere-se à determinação gráfica da existência de ciclos limites nas soluções da equação diferencial.

As soluções para a equação diferencial são uma família de funções. Graficamente, isso pode ser traçado no plano de fase como um campo vetorial bidimensional. Vetores representando as derivadas dos pontos em relação a um parâmetro (digamos, tempo ), ou seja , e são desenhados nos pontos representativos. Com essas setas, o comportamento do sistema nas regiões do plano em análise pode ser visualizado e os ciclos limites podem ser facilmente identificados.

Todo o campo é o retrato da fase, um caminho específico percorrido ao longo de uma linha de fluxo (ou seja, um caminho sempre tangente aos vetores) é um caminho de fase. Os fluxos no campo vetorial indicam a evolução no tempo do sistema que a equação diferencial descreve.

Dessa maneira, os planos de fase são úteis para visualizar o comportamento dos sistemas físicos ; em particular, de sistemas oscilatórios, como modelos predadores-presas (ver equações de Lotka-Volterra ). Nesses modelos, os caminhos de fase podem "espiralar" em direção ao zero, "espiralar" em direção ao infinito, ou alcançar situações neutras estáveis chamadas centros onde o caminho traçado pode ser circular, elíptico ou ovóide, assim como alguma variante do mesmo. Portanto, isso é útil para determinar se a dinâmica é estável ou não. [1]

Outros exemplos de sistemas oscilatórios são certas reações químicas com várias etapas, algumas das quais envolvem equilíbrios dinâmicos em vez de reações que são totalmente concluídas. Nesses casos, pode-se modelar a ascensão e queda da concentração do reagente e do produto (ou massa ou quantidade de substância) com as equações diferenciais corretas e uma boa compreensão da cinética química . [2]

Exemplo de um sistema linearEditar

Um sistema bidimensional de equações diferenciais lineares pode ser escrito na forma: [1]

 

que pode ser organizado em uma equação matricial :

 

onde A é a matriz do coeficiente 2 × 2 acima e x = (x, y) é um vetor de coordenadas de duas variáveis independentes .

Este sistema pode ser resolvido analiticamente usando, nesse caso, a integração [3]

 

embora as soluções sejam funções implícitas em   e   e sejam difíceis de interpretar. [1]

Resolução usando valores própriosEditar


 

e autovetores :

 

Os autovetores representam as potências dos componentes exponenciais e os autovetores são coeficientes. Se as soluções são escritas em forma algébrica, elas expressam o fator de multiplicação fundamental do termo exponencial. Devido à não singularidade dos autovetores, todas as soluções obtidas dessa forma têm constantes indeterminadas  .

A solução geral é:

 

onde   e   são os autovalores e  ,   são os autovetores básicos. As constantes   e   são responsáveis pela não singularidade dos autovetores e não são solucionáveis, a menos que seja dada uma condição inicial para o sistema.

O determinante acima leva ao polinômio característico :

 

que é apenas uma equação quadrática da forma:

 

Onde;

 

("tr" indica traço ) e

 

A solução explícita dos autovalores é então dada pela fórmula quadrática:

 

Onde

 

Autovetores e nósEditar

Os autovetores e os nós determinam o perfil dos caminhos da fase, fornecendo uma interpretação pictórica da solução para o sistema dinâmico, conforme mostrado a seguir 

 
Classificação dos pontos de equilíbrio de um sistema linear autônomo . [1] Esses perfis também surgem para sistemas autônomos não lineares em aproximações linearizadas.

O plano de fase é então configurado primeiro desenhando linhas retas representando os dois autovetores (que representam situações estáveis em que o sistema converge para essas linhas ou diverge delas). Em seguida, o plano de fase é traçado usando linhas completas em vez de traços de campo de direção. Os sinais dos autovalores dirão como o plano de fase do sistema se comporta:

  • Se os sinais forem opostos, a interseção dos autovetores é um ponto de sela .
  • Se os sinais forem positivos, os autovetores representam situações estáveis das quais o sistema diverge e a interseção é um nó instável .
  • Se os sinais forem negativos, os autovetores representam situações estáveis para as quais o sistema converge e a interseção é um nó estável .

Os casos acima podem ser visualizados lembrando o comportamento de termos exponenciais em soluções de equações diferenciais.

Autovalores repetidosEditar

Este exemplo diz respeito apenas ao caso de autovalores reais e separados. Os autovalores reais e repetidos requerem a solução da matriz do coeficiente com um vetor desconhecido e o primeiro autovetor para gerar a segunda solução de um sistema dois por dois,  . No entanto, se a matriz for simétrica, é possível usar o autovetor ortogonal para gerar a segunda solução.

Autovalores complexosEditar

Autovalores e autovetores complexos geram soluções na forma de senos e cossenos, assim como exponenciais. Uma das simplicidades nessa situação é que apenas um autovalor e apenas um autovetor é necessário para gerar todo o conjunto de soluções para o sistema.

Veja tambémEditar

ReferênciasEditar

Referências

  1. a b c d D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-19-920825-8 
  2. K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-38794-677-1 
  3. W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. [S.l.: s.n.] ISBN 0-471-83824-1 

links externosEditar