Problema de Dirichlet
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Em matemática, um problema de Dirichlet consiste em encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial parcial (EDP) dada no interior de uma região dada e que toma valores prescritos na fronteira (contorno) desta.
Originalmente, o problema foi proposto para a equação de Laplace. Nesse caso ele pode ser apresentado da seguinte forma: dada uma função definida no contorno de um dado conjunto em Rn, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que é harmônica no interior e no contorno?
A exigência imposta sobre na fronteira do conjunto é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução. A unicidade pode ser demonstrada usando-se o princípio do máximo.
História
editarO problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução.
Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.
Solução geral
editarPara um domínio tendo um contorno suficientemente suave , a solução geral para o problema de Dirichlet é dada por
onde é a função de Green para a equação diferencial parcial, e
é a derivada da função de Green ao longo do vetor unidade com orientação normal interno . A integração é realizada sobre o contorno, com medida . A função é dada pela solução única à equação integral de Fredholm do segundo tipo,
A função de Green a ser usada na integral acima é uma que desaparece no contorno:
para e . Tal função de Green é usaulmente uma soma da função de Greem de campo livre e uma solução harmônica à equação diferencial.
Existência
editarO problema de Dirichlet para funções harmônicas sempre tem uma solução, e esta solução é única, quando o contorno é suficientemente suave e é contínua. Mais precisamente, tem, solução quando
para , onde denota a condição de Hölder.
Exemplo: o disco unidade em duas dimensões
editarEm alguns casos simples o problema de Dirichlet pode ser resolvido explicitamente. Por exemplo, a solução para o problema de Dirichlet para o disco unidade em R2 é dado pela fórmula integral de Poisson.
Se é uma função contínua no contorno de um disco unidade aberto , então a solução para o problema de Dirichlet é dado por
A solução é contínua no disco unidade fechado e harmônica sobre
O integrando é conhecido como o núcleo de Poisson; esta solução segue-se da função de Green em duas dimensões:
onde é harmônica
e escolhida tal que para .
Generalizações
editarProblemas de Dirichlet são típicos de equações diferenciais parciais elípticas, e teoria potencial, e a equação de Laplace em particular. Outros exemplos incluem a equação biharmônica e equações relacionadas em teoria da elasticidade.
Eles são alguns dos diversos tipos de classes de problemas de EDP definidos pela informação dada no contorno, incluindo problemas de Neumann e problemas de Cauchy.
Referências
editar- A. Yanushauskas (2001), "Dirichlet problem", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
- S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.
- Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, ISBN 978-3-540-41160-4 2nd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag