Problema de Dirichlet

Em matemática, um problema de Dirichlet consiste em encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial parcial (EDP) dada no interior de uma região dada e que toma valores prescritos na fronteira (contorno) desta.

Originalmente, o problema foi proposto para a equação de Laplace. Nesse caso ele pode ser apresentado da seguinte forma: dada uma função definida no contorno de um dado conjunto em Rn, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que é harmônica no interior e no contorno?

A exigência imposta sobre na fronteira do conjunto é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução. A unicidade pode ser demonstrada usando-se o princípio do máximo.

HistóriaEditar

O problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução.

Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.

Solução geralEditar

Para um domínio   tendo um contorno suficientemente suave  , a solução geral para o problema de Dirichlet é dada por

 

onde   é a função de Green para a equação diferencial parcial, e

 

é a derivada da função de Green ao longo do vetor unidade com orientação normal interno  . A integração é realizada sobre o contorno, com medida  . A função   é dada pela solução única à equação integral de Fredholm do segundo tipo,

 

A função de Green a ser usada na integral acima é uma que desaparece no contorno:

 

para   e  . Tal função de Green é usaulmente uma soma da função de Greem de campo livre e uma solução harmônica à equação diferencial.

ExistênciaEditar

O problema de Dirichlet para funções harmônicas sempre tem uma solução, e esta solução é única, quando o contorno é suficientemente suave e   é contínua. Mais precisamente, tem, solução quando

 

para  , onde   denota a condição de Hölder.

Exemplo: o disco unidade em duas dimensõesEditar

Em alguns casos simples o problema de Dirichlet pode ser resolvido explicitamente. Por exemplo, a solução para o problema de Dirichlet para o disco unidade em R2 é dado pela fórmula integral de Poisson.

Se   é uma função contínua no contorno   de um disco unidade aberto  , então a solução para o problema de Dirichlet é   dado por

 

A solução   é contínua no disco unidade fechado   e harmônica sobre  

O integrando é conhecido como o núcleo de Poisson; esta solução segue-se da função de Green em duas dimensões:

 

onde   é harmônica

 

e escolhida tal que   para  .

GeneralizaçõesEditar

Problemas de Dirichlet são típicos de equações diferenciais parciais elípticas, e teoria potencial, e a equação de Laplace em particular. Outros exemplos incluem a equação biharmônica e equações relacionadas em teoria da elasticidade.

Eles são alguns dos diversos tipos de classes de problemas de EDP definidos pela informação dada no contorno, incluindo problemas de Neumann e problemas de Cauchy.

ReferênciasEditar

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar