Subespaço complementado
Em análise funcional, um subespaço fechado de um espaço vetorial normado é dito complementado em se existe um subespaço fechado tal que . Uma motivação para o estudo de espaços complementados é o seguinte resultado: se é espaço de Banach e é complementado em , com complemento , então é homeomorfo a com a topologia produto.
Definição
editarSeja um espaço vetorial e sejam e subespaços vetoriais de . Dizemos que é a soma direta (interna) de e se, para todo , existem e tais que e essa decomposição é única. Denotamos nesse caso .[1]
Agora, se é um espaço vetorial normado e é um subespaço fechado de , é dito complementado em se existe um subespaço fechado de tal que .[2]
Note que para todo subespaço de existe um subespaço , não necessariamente fechado, tal que (se a dimensão de for infinita, a demonstração desse fato requer o uso do axioma da escolha, por meio do lema de Zorn[3]). Entretando, nem todo subespaço fechado de algum espaço vetorial normado é complementado.[4]
Caracterizações equivalentes para espaços de Banach
editarRelação com o produto cartesiano
editarSe é um espaço vetorial normado e , vale sempre que a função dada por é um isomorfismo linear contínuo (com a topologia do produto em ). Entretanto, não é verdade em geral que esse isomorfismo é um homeomorfismo (isto é, que a sua inversa também é contínua).
Por outro lado, se é um espaço de Banach e , são equivalentes:[5]
- e são fechados em
- é um homeomorfismo
Assim, se é um espaço de Banach, o subespaço é complementado em se, e somente se, existe subespaço de tal que é homeomorfo a via .
Relação com projeções
editarSe é um espaço de Banach e é um subespaço fechado de , são equivalentes:[5]
- é complementado em
- Existe transformação linear contínua tal que e
A função é dita uma projeção sobre . Esse nome se deve à semelhança que essa transformação possui com projeções ortogonais em espaços com produto interno.
Essa caracterização se mostra muito útil para provar que um subespaço é complementado.
Exemplos e outros fatos
editarSe é um espaço de Banach:
- Todo subespaço de dimensão finita de é complementado em .[5]
- Todo subespaço de fechado e de codimensão finita (isto é, cuja dimensão do quociente é finita) é complementado em .[5]
Alguns outros fatos sobre espaços complementados:
- Todo subespaço fechado de um espaço de Hilbert é complementado nesse espaço (via projeção ortogonal).[1]
- Um espaço de Banach com a propriedade de que todo subespaço fechado é complementado é isomorfo a um espaço de Hilbert. Em particular, todo espaço de Banach que não é isomorfo a algum espaço de Hilbert possui algum subespaço fechado não-complementado.[6]
- O subespaço das sequências reais convergentes a não é complementado no espaço das sequências reais limitadas (considerando a norma do supremo).[4]
Referências
- ↑ a b KREYSZIG, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.: s.n.] pp. 146–148
- ↑ BREZIS, Haim (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. pp. 38–40
- ↑ LAX, Peter D. Functional Analysis. [S.l.]: Wiley Interscience. p. 14
- ↑ a b BOTELHO, Geraldo; PELLEGRINO, Daniel; TEIXEIRA, Eduardo (2015). Fundamentos de Análise Funcional. [S.l.]: Editora SBM. p. 48
- ↑ a b c d MEISE, Reinhold; VOGT, Dietmar. Introduction to Functional Analysis. [S.l.: s.n.] pp. 72–76
- ↑ Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (março de 1971). «On the complemented subspaces problem». Israel Journal of Mathematics (em inglês) (2): 263–269. ISSN 0021-2172. doi:10.1007/BF02771592. Consultado em 21 de julho de 2021