Teorema de Mittag-Leffler
Na análise complexa, o teorema de Mittag-Leffler diz respeito à existência de funções meromorfas com polos prescritos. Por outro lado, pode ser usado para expressar qualquer função meromorfa como uma soma de frações parciais. É irmão do teorema de fatoração de Weierstrass, que afirma a existência de funções holomorfas com zeros prescritos. Tem o nome de Gösta Mittag-Leffler.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/G%C3%B6sta_Mittag-Leffler_x_Brauer.jpg/273px-G%C3%B6sta_Mittag-Leffler_x_Brauer.jpg)
O Teorema
editarSeja um conjunto aberto em e um subconjunto discreto fechado. Para cada em , tem-se que é um polinômio em . Portanto, existe uma função meromorfa em tal que para cada , a função tem apenas uma singularidade removível em . Em especial, a principal parte da função em é .
Pode-se provar o teorema da seguinte forma abaixo:
Se é finito, basta dizer que .
E se não é finito, considera-se a soma finita em que é um subconjunto finito de .
Enquanto que o possa não convergir na medida em que F se aproxima de E, pode-se subtrair funções racionais bem escolhidas com polos fora de D (fornecido pelo teorema de Runge), sem que altere as partes principais do e de forma que a convergência seja garantida.
Exemplo
editarSupondo que deseja-se uma função meromorfa com polos simples de resíduo 1 em todos os números inteiros positivos. Com a notação vista acima, escreve-se:
e , o teorema de Mittag-Leffler afirma (não construtivamente) a existência de uma função meromorfa com parte principal em para cada número inteiro positivo . Assim, a tem as propriedades desejadas. De forma mais construtiva, pode-se escrever:
- .
Esta série converge normalmente em (como pode ser mostrado usando o teste M) para uma função meromorfa com as propriedades desejadas.
Expansões polares de funções meromorfas
editarAqui estão alguns exemplos de expansões de polos de funções meromorfas:
Transformadas de Laplace
editar- Existe também, a partir da definição da função de Mittag-Leffler, o laplaciano tal como o inverso do mesmo. Para isso, adicionam-se parâmetros à função conforme proposto pelo matemático Prabhakar, veja as fórmulas abaixo:
- Função com 3 parâmetros:
- Sendo que é a função definida por 3 parâmetros, agora basta integrar na fórmula de Laplace e temos que o laplaciano é igual a e para o seu inverso obtém-se .
- Função com 2 parâmetros: e a transformada inversa é igual a .
- Função com 1 parâmetro: e a transformada inversa é igual a .
Ver também
editarReferências
- Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis, ISBN 0-07-000657-1 3rd ed. , McGraw Hill (publicado em 1979)Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis, ISBN 0-07-000657-1 3rd ed. , McGraw Hill (publicado em 1979).
- Oliveira, Daniela dos Santos de (2014), Derivada Fracionária e as Funções de Mittag-Leffler.
Ligações externas
editar- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Mittag-Leffler theorem», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
- Mittag-Leffler's theorem, PlanetMath.org.