Teorema do ponto fixo de Kakutani

Em análise matemática, o teorema do ponto fixo de Kakutani é um dos teoremas que garantem a existência de ponto fixo sob determinadas condições. O teorema fornece condições suficientes para que uma correspondência definida em um subconjunto convexo e compacto de um espaço euclidiano tenha um ponto fixo.

O teorema do ponto fixo de Kakutani é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer, que prova a existência de pontos fixos para funções contínuas definidas em conjuntos compactos e convexos de espaços euclidianos. Em 1941, Shizuo Kakutani estendeu este teorema de funções para correspondências (funções multi-valoradas).

Este teorema é usado para provar a existência do equilíbrio de Nash.

Definição formal

Ver também: função multivalorada

Ver também: conjunto compacto

Ver também: conjunto convexo

Antes de enunciar o teorema, é preciso definir alguns conceitos.

Uma correspondência ou multipliaplicação é uma função multivariada; existem duas formas de representar este conceito, ou como uma função $f:A\rightsquigarrow B$ que toma vários valores em B para cada ponto de A, ou, mais precisamente, como uma função $F:A\to P(B)-\varnothing$, ou seja, uma função que associa a cada ponto $a\in A$ um subconjunto não vazio $F(a)\subseteq B$.

Uma multiaplicação $f:A\rightsquigarrow B$ cujo contradomínio B seja um subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}$ é fechada (respectivamente convexa, aberta, etc) quando, para todo ponto $a\in A$, F(a) for um conjunto fechado (respectivamente convexo, aberto, etc). O gráfico de uma multiaplicação é o subconjunto de $A\times B$ formado pelos pares $(a,b),a\in A,b\in F(a)$ (ou seja, se a multiaplicação for vista como uma relação, é o gráfico da relação).

O teorema de Kakutani afirma então:

• Seja $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto compacto, convexo e não-vazio, e seja $f:K\rightsquigarrow K$ uma correspondência (multiaplicação) convexa cujo gráfico seja fechado. Então f tem um ponto fixo, ou seja, existe $x\in A$ tal que $x\in F(x)$.

Uma forma equivalente deste teorema é:

• Seja A não-vazio, compacto e convexo, contido no conjunto $\mathbb {R} ^{N}$ e seja $f:A\rightsquigarrow A$ uma correspondência hemi contínua superior e convexa, então f tem (pelo menos) um ponto fixo, ou seja, existe um $x\in A$ tal que $x\in F\left(x\right)$

Contra-exemplo

Uma função sem pontos fixos

A exigência de que $f\left(x\right)$ seja um conjunto convexo para todo x é essencial para que o teorema funcione.

Considere a seguinte correspondência definida em [0,1]:

$f(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\{3/4,1/4\}&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\\\end{cases}}$

Esta correspondência não tem ponto fixo (não toca a linha vermelha no gráfico), apesar de satisfazer todos as condições do teorema de Kakutani exceto a convexidade em x = 0,5.